Задачи на смеси и сплавы

Задача о смесях

11121314212223243132333441424344

Компоненты

Сорта

Объем ресурсов

x1

x2

x3

x4

N1

g11/Σg1i

g21/Σg2i

g31/Σg3i

g41/Σg4i

y1

N2

g12/Σg1i

g22/Σg2i

g32/Σg3i

g42/Σg4i

y2

N3

g13/Σg1i

g23/Σg2i

g33/Σg3i

g43/Σg4i

y3

N4

g14/Σg1i

g24/Σg2i

g34/Σg3i

g44/Σg4i

y4

Цена

s1

s2

s3

s4

Σg1i = g11 + g12 + g13 + g14

Целевая функция
F(x) = s1x1 + s2x2 + s3x3 + s4x4 → max

Ограничения
x1g11/Σg1i + x2g21/Σg2i + x3g31/Σg3i + x4g41/Σg4i ≤ y1x1g12/Σg1i + x2g22/Σg2i + x3g32/Σg3i + x4g42/Σg4i ≤ y2x1g13/Σg1i + x2g23/Σg2i + x3g33/Σg3i + x4g43/Σg4i ≤ y3x1g14/Σg1i + x2g24/Σg2i + x3g34/Σg3i + x4g44/Σg4i ≤ y4

Пример. Завод выпускает 4 вида полуфабрикатов Bi в количествах: В1 – 400 т, В2 – 250 т, В3 – 350 т и В4 – 100 т.
В результате смешения этих компонентов получают 3 вида продукции Aj. Пропорции смешиваемых полуфабрикатов следующие: для А1 – 2:3:5:2, для А2 – 3:1:2:1, для A3 – 2:2:1:3. Стоимость 1 т продукции Aj составляет: А1 – 12 руб., А2 – 10 руб., А3 – 15 руб.
Составить оптимальный план выпуска продукции по критерию:
а) максимальной стоимости выпущенной продукции;
б) максимального использования полуфабрикатов

Задачи на определение процентной концентрации раствора

Задача 1

Какая процентная концентрация раствора \(KNO_3\), если нормальная равна \(0,2\) моль/л. Плотность равна \(1\) г/мл.

Решение:

1. Определение массы раствора объемом \(1000\) мл:

\(M=\rho\times V=1\times1000=1000\)г

2. Составление и решение следующей пропорции:

\(20,0\)г \(KNO_3\) — \(1000\) г раствора

\(Х_г\) — \(100\) г раствора

\(Х=2,02\) г или \(ω=2,02%\)

Задача 2

Нужно приготовить \(300\) г 25%-ного раствора соли, имея 60%-ный и 10%-ный. Сколько нужно взять таких компонентов (m1 и m2)?

Для решения применим правило Креста:

1. Определение веса одной из 50-ти частей образуемого раствора:

\(300\div5=6\)

2. Определение массы каждой части \(m_1\) и \(m_2\):

\(m_1=6\times15=90\)

\(m_2=6\times35=210\)

Задача 3

Используя 250г 45%-ного раствора соли, нужно понизить его концентрацию до 10%. Сколько воды необходимо использовать?

Концентрация соли в воде, используемой в качестве добавки, равна 0.

По методу креста образуется 45 частей раствора:

Решение

1. Масса одной части первичного раствора равна: \(250\div10=25\)г

2. Определение массы воды, что необходима: \(25\times35=875\)г

С целью проверки можно выполнить следующие действия:

1. Определение массы конечного продукта-раствора:

\(875+25=1125г\)

2. Для исходного раствора действует пропорция:

В 250г 40%-ного р-ра содержится Хг соли

в 100 г – 45г

Отсюда Х=112,5 г соли

3. Определение конечной концентрации раствора:

 1125 г раствора – 112,5 соли

100г – Х

Х=10г или 10%

Следовательно, нужно взять 875 г воды.

Задачи на растворы и смеси с решениями. Для ЕГЭ.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСТВОРЫ И СМЕСИ

Для решения задач этого типа удобно использовать таблицу

Раствор (смесь)

Масса раствора (смеси)

1-й компонент

2-компонент

% концентрации

масса

% концентрации

масса

Примеры задач

  1. 1. Имеется 40 литров 0,5 % раствора и 50 литров 2% раствора уксусной кислоты. Сколько нужно взять того и другого, чтобы получить 30 литров 1,5% — го раствора уксусной кислоты.

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

Уксусная кислота

Вода

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

40 л

0,5 %

2

50 л

2 %

1

х

0,5 %

0,005х

2

30-х

2 %

0,02(30-х)

3

30

1,5 %

0,015*30

0,005х + 0,02(30-х) = 30*0,015

х = 10 литров

Ответ: 10 литров, 20 литров.

  1. 2. Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кислоты разной концентрации. Если их слить, то получится 35 % раствор. Если слить равные массы этих растворов, то получится 36% раствор. Найти концентрацию каждого раствора?

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

кислота

Вода

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

4 кг

х

4*0,01х

2

6 кг

y

6*0,01у

3

10 кг

35 %

0,35*10

4

1+1

36 %

0,36*2х

4*0,01х + 6*0,01у = 10*0,35

0,01х + 0,01у = 2*0,36

Ответ: 41%,  31%.

  1. 3. Влажность сухого цемента на складе 18 %. Во время дождей влажность повысилась на 2 %. Какова стала масса цемента, если его было 400 кг.

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

вода

Сухое вещество

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

400 кг

18%

82%

400*0,82

2

х кг

20%

80%

х*0,8

400*0,82 = 0,8х

Ответ: 410 кг.

  1. 4. Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей, получили 30 тонн металла. Сколько процентов примесей содержит металл?

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

примесь

Основное вещество

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

38 т

25%

75%

38*0,75

2

30 т

х

30*0,01х

38*0,75 = 30*0,01х

Ответ: 95% — содержание металла, 5% — содержание примесей.

  1. 5. В 4 кг сплава меди и олова содержится 40 % олова. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание было 70%?

Решение:

сплав

Масса сплава

медь

олово

%

масса

%

масса

1

4 кг

40%

4*0,4

2

х

100 %

х

3

4+х

70%

0,7*(4+х)

4*0,4 +х = 0,7(4+х)

Ответ: х=4

  1. 6. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3, в другом 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5:11?

Решение:

сплав

Масса сплава

золото

серебро

%

масса

%

масса

1

х

2

2/5х

3

2

8-х

3

(3/10) (8-х)

7

3

8

5

8 * 5/16

11

2/5x+3/10(8-x)=8*5/16

х = 1

Ответ: золота – 1 кг, серебра – 7 кг.

Вас может это заинтересовать

ГДЗ по математике для 6 класса, Виленкин

ГДЗ по алгебре для 7 класса, Макарычев, Миндюк, Нешков

ГДЗ по алгебре для 8 класса, Алимов. 2014г.

ГДЗ по алгебре для 10-11 классов, Алимов

Примеры решения задач на смеси, сплавы и растворы

      Задача 1. Смешали   16   литров   30%   раствора кислоты в воде с   9   литрами   80%   раствора кислоты в воде. Найти полученного раствора кислоты в воде.

      Решение. В   16   литрах   30%   раствора кислоты в воде содержится

литров кислоты. В   9   литрах   80%   раствора кислоты в воде содержится

литров кислоты. Поэтому в смеси этих растворов содержится

4,8 + 7,2 = 12

литров кислоты. Поскольку полученный в результате смешивания раствор имеет объем

16 + 9 = 25

литров, то кислоты в этом растворе равна

      Ответ.   48% .

      Задача 2. Имеется   27   килограммов смеси цемента с песком с   40%   содержанием цемента. Сколько килограммов песка нужно добавить в эту смесь, чтобы цемента в ней стало   30% ?

      Решение. Обозначим буквой   x   количество килограммов песка, которые нужно добавить в смесь. Поскольку в   27   килограммах смеси с   40%   содержанием цемента содержится

килограммов цемента, а после добавления   x   килограммов песка масса смеси станет равной

27 + x

килограммов, то после добавления песка цемента в получившейся смеси будет составлять

      По условию задачи

      Следовательно,

      Ответ.   9   килограммов.

      Задача 3.  Смешав   8%   и   13%   растворы соли и добавив   200   миллилитров   5%   раствора соли, получили   7%   раствор соли. Если бы вместо   200   миллилитров   5%   раствора соли добавили   300   миллилитров   17%   раствора соли, то получили бы   15%   раствор соли. Сколько миллилитров   8%   и   13%   растворов соли использовали для получения раствора?

      Решение. Обозначив буквой   x   массу   8%   раствора соли, а буквой   y   – массу  13%   раствора соли, рассмотрим рисунки 1 и 2.

 x   мл
 
Соль8%Вода
+y   мл
 
Соль13%Вода
+200   мл
 
Соль5%Вода
=(x + y + 200)   мл
 

Соль7%

Вода

Рис. 1

      На рисунке 1 изображена структура раствора, полученного при смешении   x   миллилитров   8%   раствора соли,   y   миллилитров   13%   раствора соли и   200   миллилитров   9%   раствора соли. Объем этого раствора равен   (x + y + 200)   миллилитров.

  x   мл
 
Соль8%Вода
+y   мл
 
Соль13%Вода
+300   мл
 
Соль17%Вода
=(x + y + 300)   мл
 

Соль15%

Вода

Рис.2

      На рисунке 2 изображена структура раствора, полученного при смешении   x   миллилитров   8%   раствора соли,   y   миллилитров   13%   раствора соли и   300   миллилитров   17%   раствора соли. Объем этого раствора равен   (x + y + 300)   миллилитров.

      Записывая баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 1, а также баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 2, получим   x   и   y :

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем

      Ответ. Смешали   70   мл   8%   раствора и   55   мл   13%   раствора.

      Задача 4. Имеются два сплава меди с цинком. Если сплавить   1   килограмм первого сплава с   2   килограммами второго сплава, то получится сплав с   50%   содержанием меди. Если же сплавить   4   килограмма первого сплава с   1   килограммом второго сплава, то получится сплав с   36%   содержанием меди. Найти меди в первом и во втором сплавах.

      Решение. Обозначим   x %   и   y %   — процентные содержания меди в первом и во втором сплавах соответственно и рассмотрим рисунки 3 и 4.

1   кг 2   кг
Медьx %Цинк+Медьy %Цинк
 3   кг
=Медь50%Цинк

Рис. 3

      На рисунке 3 изображена структура сплава, состоящего из   1   килограмма первого сплава и   2   килограммов второго сплава. Масса этого сплава –   3   килограмма.

4   кг 1   кг
Медьx %Цинк+Медьy %Цинк
 5   кг
=Медь36%Цинк

Рис.4

      На рисунке 4 изображена структура сплава, состоящего из   4   килограммов первого сплава и   1   килограмма второго сплава. Масса этого сплава –   5   килограммов.

      Записывая баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 3, а также баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 4, получим   x   и   y :

      Далее получаем

      Ответ. В первом сплаве содержание меди   30% ,   во втором сплаве содержание меди  60% .

      Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».

      Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».

      С примерами решения задач на движение можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».

      С методами решения систем уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника «Системы линейных уравнений», «Системы с нелинейными уравнениями» и в нашем учебном пособии «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Ключевые моменты

Давайте еще раз быстренько пробежимся по всем ключевым этапам решения этой задачи на смеси и сплавы. В первую очередь необходимо понять, что это за выражения стоять внизу кружочков, которые означают наши растворы. На самом деле все очень просто. Если есть некий раствор массой MM, в котором известно, что xx% этого раствора составляет кислота, то ее MM будет выражаться по формуле:

M⋅x100

M\cdot \frac{x}{100}

Эту формулу легко запомнить, если понять, что M100\frac{M}{100} — это 1% от MM исходного вещества.

Записывая таким образом массы чистой кислоты для каждого из веществ, а также для вещества, которое получается для смешивания, мы легко составим уравнение. Для этого нужно понимать, что при смешивании mm не меняется. Именно поэтому мы складываем $M$ кислоты в исходных веществах и приравниваем их к массе чистой кислоты в исходном веществе.

А дальше все просто. У нас получается да линейных уравнения, которые легко объединяются в систему, а затем решаются. Единственный момент, который возникает при решении таких систем состоит в том, что нужно выбрать самое простое уравнение и выразить их него не ту переменную, которую мы ищем для ответа на вопрос задачи, а как раз таки все остальное. Другими словами мы берем искомую переменную и через нее выражаем все остальные переменные, которые имеются в задаче.

В нашем случае такая переменная всего одна. Мы выражаем у через xx. А дальше мы получаем одно единственное уравнение относительно той самой переменной, которую мы ищем. Следовательно, всю систему вообще можно отбросить. Такое уравнение обычно легко решается.

Самое главное здесь — не забыть, что же конкретно мы ищем. А ищем мы вовсе не концентрацию исходной кислоты в процентах, а именно массу этой кислоты. Т. е. полученное выражение xx нужно еще подставить в выражение для чистой массы. Сделав это, посчитав полученную дробь, мы получим ответ. В нашем случае он составил 18 кг.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий