Содержание
Задача о смесях
11121314212223243132333441424344
Компоненты |
Сорта |
Объем ресурсов |
|||
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
||
N1 |
g11/Σg1i |
g21/Σg2i |
g31/Σg3i |
g41/Σg4i |
y1 |
N2 |
g12/Σg1i |
g22/Σg2i |
g32/Σg3i |
g42/Σg4i |
y2 |
N3 |
g13/Σg1i |
g23/Σg2i |
g33/Σg3i |
g43/Σg4i |
y3 |
N4 |
g14/Σg1i |
g24/Σg2i |
g34/Σg3i |
g44/Σg4i |
y4 |
Цена |
s1 |
s2 |
s3 |
s4 |
Σg1i = g11 + g12 + g13 + g14
Целевая функция
F(x) = s1x1 + s2x2 + s3x3 + s4x4 → max
Ограничения
x1g11/Σg1i + x2g21/Σg2i + x3g31/Σg3i + x4g41/Σg4i ≤ y1x1g12/Σg1i + x2g22/Σg2i + x3g32/Σg3i + x4g42/Σg4i ≤ y2x1g13/Σg1i + x2g23/Σg2i + x3g33/Σg3i + x4g43/Σg4i ≤ y3x1g14/Σg1i + x2g24/Σg2i + x3g34/Σg3i + x4g44/Σg4i ≤ y4
Пример. Завод выпускает 4 вида полуфабрикатов Bi в количествах: В1 – 400 т, В2 – 250 т, В3 – 350 т и В4 – 100 т.
В результате смешения этих компонентов получают 3 вида продукции Aj. Пропорции смешиваемых полуфабрикатов следующие: для А1 – 2:3:5:2, для А2 – 3:1:2:1, для A3 – 2:2:1:3. Стоимость 1 т продукции Aj составляет: А1 – 12 руб., А2 – 10 руб., А3 – 15 руб.
Составить оптимальный план выпуска продукции по критерию:
а) максимальной стоимости выпущенной продукции;
б) максимального использования полуфабрикатов
Задачи на определение процентной концентрации раствора
Задача 1
Какая процентная концентрация раствора \(KNO_3\), если нормальная равна \(0,2\) моль/л. Плотность равна \(1\) г/мл.
Решение:
1. Определение массы раствора объемом \(1000\) мл:
\(M=\rho\times V=1\times1000=1000\)г
2. Составление и решение следующей пропорции:
\(20,0\)г \(KNO_3\) — \(1000\) г раствора
\(Х_г\) — \(100\) г раствора
\(Х=2,02\) г или \(ω=2,02%\)
Задача 2
Нужно приготовить \(300\) г 25%-ного раствора соли, имея 60%-ный и 10%-ный. Сколько нужно взять таких компонентов (m1 и m2)?
Для решения применим правило Креста:
1. Определение веса одной из 50-ти частей образуемого раствора:
\(300\div5=6\)
2. Определение массы каждой части \(m_1\) и \(m_2\):
\(m_1=6\times15=90\)
\(m_2=6\times35=210\)
Задача 3
Используя 250г 45%-ного раствора соли, нужно понизить его концентрацию до 10%. Сколько воды необходимо использовать?
Концентрация соли в воде, используемой в качестве добавки, равна 0.
По методу креста образуется 45 частей раствора:
Решение
1. Масса одной части первичного раствора равна: \(250\div10=25\)г
2. Определение массы воды, что необходима: \(25\times35=875\)г
С целью проверки можно выполнить следующие действия:
1. Определение массы конечного продукта-раствора:
\(875+25=1125г\)
2. Для исходного раствора действует пропорция:
В 250г 40%-ного р-ра содержится Хг соли
в 100 г – 45г
Отсюда Х=112,5 г соли
3. Определение конечной концентрации раствора:
1125 г раствора – 112,5 соли
100г – Х
Х=10г или 10%
Следовательно, нужно взять 875 г воды.
Задачи на растворы и смеси с решениями. Для ЕГЭ.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСТВОРЫ И СМЕСИ
Для решения задач этого типа удобно использовать таблицу
Раствор (смесь) |
Масса раствора (смеси) |
1-й компонент |
2-компонент |
||
% концентрации |
масса |
% концентрации |
масса |
||
Примеры задач
- 1. Имеется 40 литров 0,5 % раствора и 50 литров 2% раствора уксусной кислоты. Сколько нужно взять того и другого, чтобы получить 30 литров 1,5% — го раствора уксусной кислоты.
Решение:
Раствор (смесь) |
Объем (масса) раствора (смеси) |
Уксусная кислота |
Вода |
||
% концентрации |
масса |
% концентрации |
масса |
||
1 |
40 л |
0,5 % |
|||
2 |
50 л |
2 % |
|||
1 |
х |
0,5 % |
0,005х |
||
2 |
30-х |
2 % |
0,02(30-х) |
||
3 |
30 |
1,5 % |
0,015*30 |
0,005х + 0,02(30-х) = 30*0,015
х = 10 литров
Ответ: 10 литров, 20 литров.
- 2. Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кислоты разной концентрации. Если их слить, то получится 35 % раствор. Если слить равные массы этих растворов, то получится 36% раствор. Найти концентрацию каждого раствора?
Решение:
Раствор (смесь) |
Объем (масса) раствора (смеси) |
кислота |
Вода |
||
% концентрации |
масса |
% концентрации |
масса |
||
1 |
4 кг |
х |
4*0,01х |
||
2 |
6 кг |
y |
6*0,01у |
||
3 |
10 кг |
35 % |
0,35*10 |
||
4 |
1+1 |
36 % |
0,36*2х |
4*0,01х + 6*0,01у = 10*0,35
0,01х + 0,01у = 2*0,36
Ответ: 41%, 31%.
- 3. Влажность сухого цемента на складе 18 %. Во время дождей влажность повысилась на 2 %. Какова стала масса цемента, если его было 400 кг.
Решение:
Раствор (смесь) |
Объем (масса) раствора (смеси) |
вода |
Сухое вещество |
||
% концентрации |
масса |
% концентрации |
масса |
||
1 |
400 кг |
18% |
82% |
400*0,82 |
|
2 |
х кг |
20% |
80% |
х*0,8 |
400*0,82 = 0,8х
Ответ: 410 кг.
- 4. Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей, получили 30 тонн металла. Сколько процентов примесей содержит металл?
Решение:
Раствор (смесь) |
Объем (масса) раствора (смеси) |
примесь |
Основное вещество |
||
% концентрации |
масса |
% концентрации |
масса |
||
1 |
38 т |
25% |
75% |
38*0,75 |
|
2 |
30 т |
х |
30*0,01х |
38*0,75 = 30*0,01х
Ответ: 95% — содержание металла, 5% — содержание примесей.
- 5. В 4 кг сплава меди и олова содержится 40 % олова. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание было 70%?
Решение:
сплав |
Масса сплава |
медь |
олово |
||
% |
масса |
% |
масса |
||
1 |
4 кг |
40% |
4*0,4 |
||
2 |
х |
100 % |
х |
||
3 |
4+х |
70% |
0,7*(4+х) |
4*0,4 +х = 0,7(4+х)
Ответ: х=4
- 6. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3, в другом 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5:11?
Решение:
сплав |
Масса сплава |
золото |
серебро |
||
% |
масса |
% |
масса |
||
1 |
х |
2 |
2/5х |
3 |
|
2 |
8-х |
3 |
(3/10) (8-х) |
7 |
|
3 |
8 |
5 |
8 * 5/16 |
11 |
2/5x+3/10(8-x)=8*5/16
х = 1
Ответ: золота – 1 кг, серебра – 7 кг.
Вас может это заинтересовать
ГДЗ по математике для 6 класса, Виленкин
ГДЗ по алгебре для 7 класса, Макарычев, Миндюк, Нешков
ГДЗ по алгебре для 8 класса, Алимов. 2014г.
ГДЗ по алгебре для 10-11 классов, Алимов
Примеры решения задач на смеси, сплавы и растворы
Задача 1. Смешали 16 литров 30% раствора кислоты в воде с 9 литрами 80% раствора кислоты в воде. Найти полученного раствора кислоты в воде.
Решение. В 16 литрах 30% раствора кислоты в воде содержится
литров кислоты. В 9 литрах 80% раствора кислоты в воде содержится
литров кислоты. Поэтому в смеси этих растворов содержится
4,8 + 7,2 = 12
литров кислоты. Поскольку полученный в результате смешивания раствор имеет объем
16 + 9 = 25
литров, то кислоты в этом растворе равна
Ответ. 48% .
Задача 2. Имеется 27 килограммов смеси цемента с песком с 40% содержанием цемента. Сколько килограммов песка нужно добавить в эту смесь, чтобы цемента в ней стало 30% ?
Решение. Обозначим буквой x количество килограммов песка, которые нужно добавить в смесь. Поскольку в 27 килограммах смеси с 40% содержанием цемента содержится
килограммов цемента, а после добавления x килограммов песка масса смеси станет равной
27 + x
килограммов, то после добавления песка цемента в получившейся смеси будет составлять
По условию задачи
Следовательно,
Ответ. 9 килограммов.
Задача 3. Смешав 8% и 13% растворы соли и добавив 200 миллилитров 5% раствора соли, получили 7% раствор соли. Если бы вместо 200 миллилитров 5% раствора соли добавили 300 миллилитров 17% раствора соли, то получили бы 15% раствор соли. Сколько миллилитров 8% и 13% растворов соли использовали для получения раствора?
Решение. Обозначив буквой x массу 8% раствора соли, а буквой y – массу 13% раствора соли, рассмотрим рисунки 1 и 2.
x мл | |||
|
|||
+ | y мл | ||
|
|||
+ | 200 мл | ||
|
|||
= | (x + y + 200) мл | ||
|
Рис. 1
На рисунке 1 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 200 миллилитров 9% раствора соли. Объем этого раствора равен (x + y + 200) миллилитров.
x мл | |||
|
|||
+ | y мл | ||
|
|||
+ | 300 мл | ||
|
|||
= | (x + y + 300) мл | ||
|
Рис.2
На рисунке 2 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 300 миллилитров 17% раствора соли. Объем этого раствора равен (x + y + 300) миллилитров.
Записывая баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 1, а также баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 2, получим x и y :
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем
Ответ. Смешали 70 мл 8% раствора и 55 мл 13% раствора.
Задача 4. Имеются два сплава меди с цинком. Если сплавить 1 килограмм первого сплава с 2 килограммами второго сплава, то получится сплав с 50% содержанием меди. Если же сплавить 4 килограмма первого сплава с 1 килограммом второго сплава, то получится сплав с 36% содержанием меди. Найти меди в первом и во втором сплавах.
Решение. Обозначим x % и y % — процентные содержания меди в первом и во втором сплавах соответственно и рассмотрим рисунки 3 и 4.
1 кг | 2 кг | ||||
Медьx % | Цинк | + | Медьy % | Цинк | |
|
Рис. 3
На рисунке 3 изображена структура сплава, состоящего из 1 килограмма первого сплава и 2 килограммов второго сплава. Масса этого сплава – 3 килограмма.
4 кг | 1 кг | ||||
Медьx % | Цинк | + | Медьy % | Цинк | |
|
Рис.4
На рисунке 4 изображена структура сплава, состоящего из 4 килограммов первого сплава и 1 килограмма второго сплава. Масса этого сплава – 5 килограммов.
Записывая баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 3, а также баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 4, получим x и y :
Далее получаем
Ответ. В первом сплаве содержание меди 30% , во втором сплаве содержание меди 60% .
Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».
Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».
С примерами решения задач на движение можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».
С методами решения систем уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника «Системы линейных уравнений», «Системы с нелинейными уравнениями» и в нашем учебном пособии «Системы уравнений».
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Ключевые моменты
Давайте еще раз быстренько пробежимся по всем ключевым этапам решения этой задачи на смеси и сплавы. В первую очередь необходимо понять, что это за выражения стоять внизу кружочков, которые означают наши растворы. На самом деле все очень просто. Если есть некий раствор массой MM, в котором известно, что xx% этого раствора составляет кислота, то ее MM будет выражаться по формуле:
M⋅x100
M\cdot \frac{x}{100}
Эту формулу легко запомнить, если понять, что M100\frac{M}{100} — это 1% от MM исходного вещества.
Записывая таким образом массы чистой кислоты для каждого из веществ, а также для вещества, которое получается для смешивания, мы легко составим уравнение. Для этого нужно понимать, что при смешивании mm не меняется. Именно поэтому мы складываем $M$ кислоты в исходных веществах и приравниваем их к массе чистой кислоты в исходном веществе.
А дальше все просто. У нас получается да линейных уравнения, которые легко объединяются в систему, а затем решаются. Единственный момент, который возникает при решении таких систем состоит в том, что нужно выбрать самое простое уравнение и выразить их него не ту переменную, которую мы ищем для ответа на вопрос задачи, а как раз таки все остальное. Другими словами мы берем искомую переменную и через нее выражаем все остальные переменные, которые имеются в задаче.
В нашем случае такая переменная всего одна. Мы выражаем у через xx. А дальше мы получаем одно единственное уравнение относительно той самой переменной, которую мы ищем. Следовательно, всю систему вообще можно отбросить. Такое уравнение обычно легко решается.
Самое главное здесь — не забыть, что же конкретно мы ищем. А ищем мы вовсе не концентрацию исходной кислоты в процентах, а именно массу этой кислоты. Т. е. полученное выражение xx нужно еще подставить в выражение для чистой массы. Сделав это, посчитав полученную дробь, мы получим ответ. В нашем случае он составил 18 кг.