Задачи на смеси и сплавы

Содержание

1 Задача о смесях
2 Задачи на определение процентной концентрации раствора
3 Задачи на растворы и смеси с решениями. Для ЕГЭ.
4 Ответ: х=4
5 Примеры решения задач на смеси, сплавы и растворы
6 Ключевые моменты

Задача о смесях

₁₁₁₂₁₃₁₄₂₁₂₂₂₃₂₄₃₁₃₂₃₃₃₄₄₁₄₂₄₃₄₄

Компоненты	Сорта	Объем ресурсов
x1	x2	x3	x4
N1	g₁₁/Σg_1i	g₂₁/Σg_2i	g₃₁/Σg_3i	g₄₁/Σg_4i	y1
N2	g₁₂/Σg_1i	g₂₂/Σg_2i	g₃₂/Σg_3i	g₄₂/Σg_4i	y2
N3	g₁₃/Σg_1i	g₂₃/Σg_2i	g₃₃/Σg_3i	g₄₃/Σg_4i	y3
N4	g₁₄/Σg_1i	g₂₄/Σg_2i	g₃₄/Σg_3i	g₄₄/Σg_4i	y4
Цена	s1	s2	s3	s4

Σg_1i = g₁₁ + g₁₂ + g₁₃ + g₁₄

Целевая функция
F(x) = s₁x₁ + s₂x₂ + s₃x₃ + s₄x₄ → max

Ограничения
x₁g₁₁/Σg_1i + x₂g₂₁/Σg_2i + x₃g₃₁/Σg_3i + x₄g₄₁/Σg_4i ≤ y₁x₁g₁₂/Σg_1i + x₂g₂₂/Σg_2i + x₃g₃₂/Σg_3i + x₄g₄₂/Σg_4i ≤ y₂x₁g₁₃/Σg_1i + x₂g₂₃/Σg_2i + x₃g₃₃/Σg_3i + x₄g₄₃/Σg_4i ≤ y₃x₁g₁₄/Σg_1i + x₂g₂₄/Σg_2i + x₃g₃₄/Σg_3i + x₄g₄₄/Σg_4i ≤ y₄

Пример. Завод выпускает 4 вида полуфабрикатов Bi в количествах: В1 – 400 т, В2 – 250 т, В3 – 350 т и В4 – 100 т.
В результате смешения этих компонентов получают 3 вида продукции Aj. Пропорции смешиваемых полуфабрикатов следующие: для А1 – 2:3:5:2, для А2 – 3:1:2:1, для A3 – 2:2:1:3. Стоимость 1 т продукции Aj составляет: А1 – 12 руб., А2 – 10 руб., А3 – 15 руб.
Составить оптимальный план выпуска продукции по критерию:
а) максимальной стоимости выпущенной продукции;
б) максимального использования полуфабрикатов

Задачи на определение процентной концентрации раствора

Задача 1

Какая процентная концентрация раствора $KNO_3$, если нормальная равна $0,2$ моль/л. Плотность равна $1$ г/мл.

Решение:

1. Определение массы раствора объемом $1000$ мл:

$M=\rho\times V=1\times1000=1000$г

Гидролиз солей. среда водных растворов: кислая, нейтральная, щелочная

2. Составление и решение следующей пропорции:

$20,0$г $KNO_3$ — $1000$ г раствора

$Х_г$ — $100$ г раствора

$Х=2,02$ г или $ω=2,02%$

Задача 2

Нужно приготовить $300$ г 25%-ного раствора соли, имея 60%-ный и 10%-ный. Сколько нужно взять таких компонентов (m1 и m2)?

Для решения применим правило Креста:

1. Определение веса одной из 50-ти частей образуемого раствора:

$300\div5=6$

Совокупность реакций органических соединений

2. Определение массы каждой части $m_1$ и $m_2$:

$m_1=6\times15=90$

$m_2=6\times35=210$

Задача 3

Используя 250г 45%-ного раствора соли, нужно понизить его концентрацию до 10%. Сколько воды необходимо использовать?

Концентрация соли в воде, используемой в качестве добавки, равна 0.

По методу креста образуется 45 частей раствора:

Решение

1. Масса одной части первичного раствора равна: $250\div10=25$г

Подготовка к огэ по химии 9 класс

2. Определение массы воды, что необходима: $25\times35=875$г

С целью проверки можно выполнить следующие действия:

1. Определение массы конечного продукта-раствора:

$875+25=1125г$

2. Для исходного раствора действует пропорция:

В 250г 40%-ного р-ра содержится Хг соли

в 100 г – 45г

Отсюда Х=112,5 г соли

3. Определение конечной концентрации раствора:

1125 г раствора – 112,5 соли

100г – Х

Х=10г или 10%

Следовательно, нужно взять 875 г воды.

Задачи на растворы и смеси с решениями. Для ЕГЭ.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСТВОРЫ И СМЕСИ

Для решения задач этого типа удобно использовать таблицу

Раствор (смесь)	Масса раствора (смеси)	1-й компонент	2-компонент
% концентрации	масса	% концентрации	масса

Примеры задач

1. Имеется 40 литров 0,5 % раствора и 50 литров 2% раствора уксусной кислоты. Сколько нужно взять того и другого, чтобы получить 30 литров 1,5% — го раствора уксусной кислоты.

Решение:

Раствор (смесь)	Объем (масса) раствора (смеси)	Уксусная кислота	Вода
% концентрации	масса	% концентрации	масса
1	40 л	0,5 %
2	50 л	2 %
1	х	0,5 %	0,005х
2	30-х	2 %	0,02(30-х)
3	30	1,5 %	0,015*30

0,005х + 0,02(30-х) = 30*0,015

х = 10 литров

Ответ: 10 литров, 20 литров.

2. Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кислоты разной концентрации. Если их слить, то получится 35 % раствор. Если слить равные массы этих растворов, то получится 36% раствор. Найти концентрацию каждого раствора?

Решение:

Раствор (смесь)	Объем (масса) раствора (смеси)	кислота	Вода
% концентрации	масса	% концентрации	масса
1	4 кг	х	4*0,01х
2	6 кг	y	6*0,01у
3	10 кг	35 %	0,35*10
4	1+1	36 %	0,36*2х

4*0,01х + 6*0,01у = 10*0,35

0,01х + 0,01у = 2*0,36

Ответ: 41%, 31%.

3. Влажность сухого цемента на складе 18 %. Во время дождей влажность повысилась на 2 %. Какова стала масса цемента, если его было 400 кг.

Решение:

Раствор (смесь)	Объем (масса) раствора (смеси)	вода	Сухое вещество
% концентрации	масса	% концентрации	масса
1	400 кг	18%		82%	400*0,82
2	х кг	20%		80%	х*0,8

400*0,82 = 0,8х

Ответ: 410 кг.

4. Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей, получили 30 тонн металла. Сколько процентов примесей содержит металл?

Решение:

Раствор (смесь)	Объем (масса) раствора (смеси)	примесь	Основное вещество
% концентрации	масса	% концентрации	масса
1	38 т	25%		75%	38*0,75
2	30 т			х	30*0,01х

38*0,75 = 30*0,01х

Ответ: 95% — содержание металла, 5% — содержание примесей.

5. В 4 кг сплава меди и олова содержится 40 % олова. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание было 70%?

Решение:

сплав	Масса сплава	медь	олово
%	масса	%	масса
1	4 кг			40%	4*0,4
2	х			100 %	х
3	4+х			70%	0,7*(4+х)

4*0,4 +х = 0,7(4+х)

Ответ: х=4

6. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3, в другом 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5:11?

Решение:

сплав	Масса сплава	золото	серебро
%	масса	%	масса
1	х	2	2/5х	3
2	8-х	3	(3/10) (8-х)	7
3	8	5	8 * 5/16	11

2/5x+3/10(8-x)=8*5/16

х = 1

Ответ: золота – 1 кг, серебра – 7 кг.

Вас может это заинтересовать

ГДЗ по математике для 6 класса, Виленкин

ГДЗ по алгебре для 7 класса, Макарычев, Миндюк, Нешков

ГДЗ по алгебре для 8 класса, Алимов. 2014г.

ГДЗ по алгебре для 10-11 классов, Алимов

Примеры решения задач на смеси, сплавы и растворы

Задача 1. Смешали 16 литров 30% раствора кислоты в воде с 9 литрами 80% раствора кислоты в воде. Найти полученного раствора кислоты в воде.

Решение. В 16 литрах 30% раствора кислоты в воде содержится

литров кислоты. В 9 литрах 80% раствора кислоты в воде содержится

литров кислоты. Поэтому в смеси этих растворов содержится

4,8 + 7,2 = 12

литров кислоты. Поскольку полученный в результате смешивания раствор имеет объем

16 + 9 = 25

литров, то кислоты в этом растворе равна

Ответ. 48% .

Задача 2. Имеется 27 килограммов смеси цемента с песком с 40% содержанием цемента. Сколько килограммов песка нужно добавить в эту смесь, чтобы цемента в ней стало 30% ?

Решение. Обозначим буквой x количество килограммов песка, которые нужно добавить в смесь. Поскольку в 27 килограммах смеси с 40% содержанием цемента содержится

килограммов цемента, а после добавления x килограммов песка масса смеси станет равной

27 + x

килограммов, то после добавления песка цемента в получившейся смеси будет составлять

По условию задачи

Следовательно,

Ответ. 9 килограммов.

Задача 3. Смешав 8% и 13% растворы соли и добавив 200 миллилитров 5% раствора соли, получили 7% раствор соли. Если бы вместо 200 миллилитров 5% раствора соли добавили 300 миллилитров 17% раствора соли, то получили бы 15% раствор соли. Сколько миллилитров 8% и 13% растворов соли использовали для получения раствора?

Решение. Обозначив буквой x массу 8% раствора соли, а буквой y – массу 13% раствора соли, рассмотрим рисунки 1 и 2.

x мл

Соль8%

Вода

y мл

Соль13%

Вода

200 мл

Соль5%

Вода

(x + y + 200) мл

Соль7%

Вода

Рис. 1

На рисунке 1 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 200 миллилитров 9% раствора соли. Объем этого раствора равен (x + y + 200) миллилитров.

x мл

Соль8%

Вода

y мл

Соль13%

Вода

300 мл

Соль17%

Вода

(x + y + 300) мл

Соль15%

Вода

Рис.2

На рисунке 2 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 300 миллилитров 17% раствора соли. Объем этого раствора равен (x + y + 300) миллилитров.

Записывая баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 1, а также баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 2, получим x и y :

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем

Ответ. Смешали 70 мл 8% раствора и 55 мл 13% раствора.

Задача 4. Имеются два сплава меди с цинком. Если сплавить 1 килограмм первого сплава с 2 килограммами второго сплава, то получится сплав с 50% содержанием меди. Если же сплавить 4 килограмма первого сплава с 1 килограммом второго сплава, то получится сплав с 36% содержанием меди. Найти меди в первом и во втором сплавах.

Решение. Обозначим x % и y % — процентные содержания меди в первом и во втором сплавах соответственно и рассмотрим рисунки 3 и 4.

1 кг

2 кг

Медьx %

Цинк

Медьy %

Цинк

	3 кг
=	Медь50%	Цинк

Рис. 3

На рисунке 3 изображена структура сплава, состоящего из 1 килограмма первого сплава и 2 килограммов второго сплава. Масса этого сплава – 3 килограмма.

4 кг

1 кг

Медьx %

Цинк

Медьy %

Цинк

	5 кг
=	Медь36%	Цинк

Рис.4

На рисунке 4 изображена структура сплава, состоящего из 4 килограммов первого сплава и 1 килограмма второго сплава. Масса этого сплава – 5 килограммов.

Записывая баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 3, а также баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 4, получим x и y :

Далее получаем

Ответ. В первом сплаве содержание меди 30% , во втором сплаве содержание меди 60% .

Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».

Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».

С примерами решения задач на движение можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».

С методами решения систем уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника «Системы линейных уравнений», «Системы с нелинейными уравнениями» и в нашем учебном пособии «Системы уравнений».

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Ключевые моменты

Давайте еще раз быстренько пробежимся по всем ключевым этапам решения этой задачи на смеси и сплавы. В первую очередь необходимо понять, что это за выражения стоять внизу кружочков, которые означают наши растворы. На самом деле все очень просто. Если есть некий раствор массой MM, в котором известно, что xx% этого раствора составляет кислота, то ее MM будет выражаться по формуле:

M⋅x100

M\cdot \frac{x}{100}

Эту формулу легко запомнить, если понять, что M100\frac{M}{100} — это 1% от MM исходного вещества.

Записывая таким образом массы чистой кислоты для каждого из веществ, а также для вещества, которое получается для смешивания, мы легко составим уравнение. Для этого нужно понимать, что при смешивании mm не меняется. Именно поэтому мы складываем $M$ кислоты в исходных веществах и приравниваем их к массе чистой кислоты в исходном веществе.

А дальше все просто. У нас получается да линейных уравнения, которые легко объединяются в систему, а затем решаются. Единственный момент, который возникает при решении таких систем состоит в том, что нужно выбрать самое простое уравнение и выразить их него не ту переменную, которую мы ищем для ответа на вопрос задачи, а как раз таки все остальное. Другими словами мы берем искомую переменную и через нее выражаем все остальные переменные, которые имеются в задаче.

В нашем случае такая переменная всего одна. Мы выражаем у через xx. А дальше мы получаем одно единственное уравнение относительно той самой переменной, которую мы ищем. Следовательно, всю систему вообще можно отбросить. Такое уравнение обычно легко решается.

Самое главное здесь — не забыть, что же конкретно мы ищем. А ищем мы вовсе не концентрацию исходной кислоты в процентах, а именно массу этой кислоты. Т. е. полученное выражение xx нужно еще подставить в выражение для чистой массы. Сделав это, посчитав полученную дробь, мы получим ответ. В нашем случае он составил 18 кг.