Таблица производных. доказательство формул

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения «>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Функция () представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

У функции () первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции () представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

Ответ: ’() =
2 · (3cos − · sin ); ’() = ( + 9) ·
.

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию

А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Правила дифференцирования производной

Чаще всего при нахождении производной требуется не просто посмотреть в таблицу производных, а вначале применить правила дифференцирования и доказательство производной произведения, и только потом использовать таблицу производных элементарных функций.

1. Постоянная выносится за знак производной

$(Cu)’=Cu’$,

$C$ – постоянная (константа).

Пример 1

Продифференцировать функцию $y=7x^4$.

Решение.

Находим $y’=(7x^4 )’$. Выносим число $7$ за знак производной, получаем:

$y’=(7x^4 )’=7(x^4 )’=$

используя таблицу, необходимо находить значение производной степенной функции:

$=7 \cdot 4x^3=$

Преобразуем результат к принятому в математике виду:

$=28x^3$.

Ответ: $28x^3$.

2. Производная суммы (разницы) равна сумме (разнице) производных:

$(u \pm v)’=u’ \pm v’$.

Пример 2

Продифференцировать функцию $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x$.

Решение.

$y’=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x)’=$

применим правило дифференцирования производной суммы и разницы:

$=(7)’+(x)’-(5x^5 )’+(4 \sin x )’-(9\sqrt{x^2})’+(\frac{4}{x^4} )’-(11\cot x)’=$

отметим, что при дифференцировании все степени и корни необходимо преобразовать к виду $x^{\frac{a}{b}}$;

вынесем все постоянные за знак производной:

$=(7)’+(x)’-(5x^5 )’+(4\sin x )’-(9x^{\frac{2}{5}} )’+(4x^{-4} )’-(11\cot x)’=$

$=(7)’+(x)’-5(x^5 )’+4(\sin x )’-9(x^{\frac{2}{5}} )’+4(x^{-4} )’-11(\cot x)’=$

разобравшись с правилами дифференцирования, некоторые из них (например, как последние два) применяются одновременно во избежание переписывания длинного выражения;

мы получили выражение из элементарных функций, стоящих под знаком производной; воспользуемся таблицей производных:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac{2}{5} x^{-\frac{3}{5}}+12x^{-5}-11 \cdot \frac{-1}{\sin^2 x}=$

преобразуем к виду, принятому в математике:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$

Обратим внимание, что при нахождении результата принято слагаемые с дробными степенями преобразовать в корни, а с отрицательными – в дроби. Ответ: $1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$

Ответ: $1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$.

3. Формула производной произведения функций:

$(uv)’=u’ v+uv’$.

Пример 3

Продифференцировать функцию $y=x^{11} \ln x$.

Решение.

Сначала применим правило вычисления производной произведения функций, а затем используем таблицу производных:

$y’=(x^{11} \ln x )’=(x^{11} )’ \ln x+x^{11} (\lnтx )’=11x^{10} \ln x+x^{11} \cdot \frac{1}{x}=11x^{10} \ln x-\frac{x^{11}}{x}=11x^{10} \ln x-x^{10}=x^{10} (11 \ln x-1)$.

Ответ: $x^{10} (11 \ln x-1)$.

4. Формула производной частной функции:

$(\frac{u}{v})’=\frac{u’ v-uv’}{v^2}$.

Пример 4

Продифференцировать функцию $y=\frac{3x-8}{x^5-7}$.

Решение.

$y’=(\frac{3x-8}{x^5-7})’=$

по правилам приоритета математических операций сначала выполним деление, а потом сложение и вычитание, поэтому применим сначала правило вычисления производной частного:

$=\frac{(3x-8)’ (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)’}{(x^5-7)^2} =$

применим правила производных суммы и разности, раскроем скобки и упростим выражение:

$=\frac{3(x^5-7)-5x^4 (3x-8)}{(x^5-7)^2} =\frac{3x^5-21-15x^5+40x^4}{(x^5-7)^2} =\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$ .

Ответ: $\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$.

Пример 5

Продифференцируем функцию $y=\frac{x^7-2x+3}{x}$.

Решение.

Функция y является частным двух функций, поэтому можно применить правило вычисления производной частного, но в таком случае получим громоздкую функцию. Для упрощения данной функции можно почленно разделить числитель на знаменатель:

$y=\frac{x^7-13x+9}{x}=x^6-13+\frac{9}{x}$.

Применим к упрощенной функции правило дифференцирования суммы и разности функций:

$y’=(x^6-13+\frac{9}{x})’=(x^6 )’+(-13)’+9(x^{-1} )’=6x^5+0+9 \cdot (-x^{-2})=$

$=6x^5-\frac{9}{x^2}$.

Ответ: $6x^5-\frac{9}{x^2}$.

Исследование функций с помощью производной

Определение 1хххf(x)>f(x)

Определение 2. Точка х называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х выполняется неравенство:

f(x)<f(x)
Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производнойразрыв

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
Определение 3: Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз на промежутке (a,b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка (рис.1).

Определение 4: Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх на промежутке (a,b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка (рис.2).
Рис.1 Рис. 2

Определение 5. Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба (рис.3).
Рис. 3

Правило нахождения точек перегиба графика функции y=f(x)
a. Найти вторую производную f″.
b. Найти точки, в которых вторая производная f″ обращается в нуль или терпит разрыв.
c. Исследовать знак второй производной f″ на каждом промежутке, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x является абсциссой точки перегиба графика функции.
d. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность или нечетность.
3. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.
4. Найти асимптоты функции.
5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.
6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.
7. По результатам исследования построить график.

Пример 17: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x3-3×2.
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3×2-6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3×2-6x=0.
3x·(x-2)=0
x=0, x=2
Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

x	(-∞,0)	(0,2)	2	(2,+∞)
f′(x)	+	—	+
f(x)		т. max0		т. min-4

3232Ответ

Пример 18: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x)=62-x3.
Решение: Находим f′=12x-32, f″(x)=12-6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение: 12-6x=0, x=2

x	(-∞;2)	2	(2; +∞)
f″(x)	+	—
f(x)	∪	точка перегиба16	∩

23Ответ:

Пример 19. Провести полное исследование функции y=x3-3x и построить ее график.
Решение:
1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения x∈(-infin;;+∞).
2) Выясним, является ли функция четной или нечетной:
y(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x = -(x3-3x) = y(-x)
Отсюда следует, что функция является нечетной, т.е. график симметричен относительно начала координат.
3) Найдем точки пересечения с осями координат:
— с осью ОХ: решим уравнение x3-3x=0
x·(x2-3)=0
Точки пересечения с осью ОХ — с осью ОY: y(0)=03-3·0 = 0
Точка пересечения с осью ОY (0;).
4) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.
5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: y′=3×2-3.
Критические точки: 3×2-3 = 0, x2=1, x=&pm;1.

x	(-∞, -1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
y′	+	—	+
y		т. max2		т. min-2

33

x	(-∞,0)	(0, +∞)
y″	—	+
y	∩	точка перегиба0	∪

3

Производная сложной функции

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию () = sin и заменить переменную , скажем, на
2 + ln . Получится () = sin (
2 + ln ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

’() = ’() · ’, если заменяется на ().

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

Заметим, что если в функции () вместо выражения 2 + 3 будет просто , то получится элементарная функция () =
. Поэтому делаем замену: пусть 2 + 3 = , () = () =
. Ищем производную сложной функции по формуле:

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: = 2 + 3. Получим:. Теперь разберемся с функцией ()

Очевидно, надо заменить
2 + ln =. Имеем:

Теперь разберемся с функцией (). Очевидно, надо заменить
2 + ln = . Имеем:

Обратная замена: =
2 + ln . Тогда:

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ: ’() = 2 ·
2 + 3; ’() = (2 + 1/) · cos (
2 + ln ).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

Немногие знают, что в роли вполне может выступать дробное число. Например, корень — это
0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

Теперь делаем замену: пусть
2 + 8 − 7 = . Находим производную по формуле:

Делаем обратную замену: =
2 + 8 − 7. Имеем:

Наконец, возвращаемся к корням:

Ответ:

1. Вводный урок по вычислению производных степенной функции
2. Уравнение касательной к графику функции
3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 7 (без производных)
5. Задачи B6 с монетами
6. Задача B5: площадь кольца

производным высших порядков от произведения функций

Материал разберём на конкретной задаче:

Пример 10

Найти  функции

Решение начнём с ключевого вопроса: как выгоднее всего найти третью производную от произведения функций?

…А почему бы, собственно, не взять три производные подряд? Тем более это представляется вполне подъёмной задачей. Используем правило дифференцирования произведения  и упрощаем результат:

Со второй производной дела обстоят похуже, но всё-таки ещё не так плохи:

С третьей немножко повезло:

Всё выглядит весьма благонадёжно, но…

В чём недостаток такого решения? Во-первых, оно длинное. А ведь предложенная функция даже без «наворотов». И, во-вторых, тут легко запутаться (особенно в знаках). Рассмотрим простой и чёткий способ решения подобных заданий:

Формула Лейбница

Пожалуйста, не путайте с более известной формулой Ньютона-Лейбница!

Производную  порядка от произведения двух функций можно найти по формуле: 

В частности:

Примечание: здесь и далее предполагается дифференцируемость функций нужное количество раз

Специально запоминать ничего не надо, ибо, чем больше формул знаешь – тем меньше понимаешь. Гораздо полезнее ознакомиться с биномом Ньютона, поскольку формула Лейбница очень и очень на него похожа. Ну а те везунчики, которым достанется производная 7-го либо более высоких порядков (что, правда, маловероятно), будут вынуждены это сделать. Впрочем, когда черёд дойдёт до комбинаторики – то всё равно придётся =)
Найдём третью производную функции . Используем формулу Лейбница:

В данном случае: . Производные легко перещёлкать устно:

Теперь аккуратно и ВНИМАТЕЛЬНО выполняем подстановку и упрощаем результат:

Ответ:

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 11

Найти  функции

Если в предыдущем примере решение «в лоб» ещё конкурировало с формулой Лейбница, то здесь оно уже будет действительно неприятным. И ещё неприятнее – в случае более высокого порядка производной:

Пример 12

Найти производную указанного порядка

Решение: первое и существенное замечание – решать вот так, наверное, не нужно =) =)

Запишем функции  и найдём их производные до 5-го порядка включительно. Предполагаю, что производные правого столбца стали для вас устными:
В левом же столбце «живые» производные быстро «закончились» и это очень хорошо – в формуле Лейбница обнулятся три слагаемых:

Вновь остановлюсь на дилемме, которая фигурировала в статье о сложных производных: упрощать ли результат? В принципе, можно оставить и так – преподавателю будет даже легче проверять. Но он может потребовать довести решение до ума. С другой стороны, упрощение по собственной инициативе чревато алгебраическими ошибками. Однако у нас есть ответ, полученный «первобытным» способом =) (см. ссылку в начале), и я надеюсь, он правильный:

Отлично, всё сошлось.

Ответ:

Счастливое задание для самостоятельного решения:

Пример 13

Для функции :
а) найти  непосредственным дифференцированием;
б) найти  по формуле Лейбница;
в) вычислить .

Нет, я вовсе не садист – пункт «а» здесь достаточно прост =)

А если серьёзно, то «прямое» решение последовательным дифференцированием тоже имеет «право на жизнь» – в ряде случаев его сложность сопоставима со сложностью применения формулы Лейбница. Используйте, если сочтёте целесообразным – это вряд ли будет основанием для незачёта задания.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Чтобы поднять заключительный параграф нужно уметь дифференцировать неявные функции:

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x.

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x.

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Пример:

Найти f'(x), если функция f(x) задана следующей формулой:

1. f(x)= \sin2x

   Спойлер

   f'(x)=(\sin2x)’=2\cos2x

2. f(x)=e^{-x^{2}}\ln(1+x^{3})

   Спойлер

   f'(x)=-2xe^{-x^{2}}\ln(1+x^{3})+e^{-x^{2}}\frac{3x^{2}}{1+x^{3}}

Таблица производных

из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест составлен для проверки знания таблицы производных.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали из баллов ()

Средний результат
Ваш результат

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом

2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   Количество баллов: 2

   Найдите производную функции f(x)=\sin{2x}

   Правильно

   Неправильно

2. Задание 2 из 4

   Количество баллов: 2

   Напишите производную функции f(x)=- \cos{x}

   Правильно

   Неправильно

3. Задание 3 из 4

   Количество баллов: 2

   Выберите правильную производную функции f(x)=c

   • $$0$$

   • $$c$$

   • $$c^{2}$$

   Правильно

   Неправильно

4. Задание 4 из 4

   Количество баллов: 2

   Производная какой функции является \frac{1}{x}?

   Правильно

   Неправильно

из 1 заданий окончено

Вопросы:

1. 1

Информация

Не хотите ли проверить, как хорошо вы знаете таблицу производных?

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: из 1

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали из баллов ()

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Капча:

1. 1

1. С ответом

2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 1

   Элементы сортировки

   • $$0$$
   • $$\alpha x^{\alpha -1}$$
   • $$a^{x}\ln{a}$$
   • $$e^{x}$$
   • $$\frac{1}{x\ln{a}}$$
   • $$\frac{1}{x}$$
   • $$\cos{x}$$
   • $$- \sin{x}$$
   • $$\frac{1}{\cos^{2} x}$$
   • $$-\frac{1}{\sin^{2}x}$$
   • $$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$
   • $$-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$
   • $$\frac{1}{1+x^{2}}$$
   • $$-\frac{1}{1+x^{2}}$$
   • $$\mathop{\rm ch} x$$
   • $$\mathop{\rm sh} x$$
   • $$\frac{1}{\mathop{\rm ch}^{2} x}$$
   • $$-\frac{1}{\mathop{\rm sh}^{2} x}$$

   • $$c$$

   • $$x^{\alpha}$$

   • $$a^{x}$$

   • $$e^{x}$$

   • $$\log_{a}x$$

   • $$\ln{x}$$

   • $$\sin{x}$$

   • $$\cos{x}$$

   • $$\mathop{\rm tg} x$$

   • $$\mathop{\rm ctg} {x}$$

   • $$\mathop{\rm arcsin} x$$

   • $$\mathop{\rm arccos} x$$

   • $$\mathop{\rm arctg} x$$

   • $$\mathop{\rm arcctg} x$$

   • $$\mathop{\rm sh} x$$

   • $$\mathop{\rm ch} x$$

   • $$ \mathop{\rm th} x$$

   • $$\mathop{\rm cth} x$$

   Правильно

   Неправильно

Литература

• Конспект лекций Лысенко З.М.
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.153

Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профильной)

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f'(x_0)={lim}{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^{n-1}$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
$√x$	${1}/{2√x}$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	${1}/{x}$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

$v(t) = x'(t)$

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.

В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

При доказательстве формулы для любого действительного p, отличного от нуля, воспользуемся логарифмической производной (не путайте с производной логарифмической функции). Для понимания процесса, рекомендуем сначала ознакомиться с , а также разобраться с разделами теории производная неявно заданной функции и производная сложной функции.

Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x.

Сначала будем полагать . В этом случае . Выполним логарифмирование равенства по основанию e и применим свойство логарифма:

Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:

Осталось провести доказательство для отрицательных x.

Когда показатель p представляет собой четное число, то степенная функция определена и при , причем является четной (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). То есть, . В этом случае и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную.

Когда показатель p представляет собой нечетное число, то степенная функция определена и при , причем является нечетной. То есть, . В этом случае и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы в этом случае можно воспользоваться правилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции:

Последний переход возможен в силу того, что если p — нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, для отрицательных x справедливо равенство .

Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p.

Пример.

Найти производные функций .

Решение.

Первую и третью функцию приведем к табличному виду , используя свойства степени, и применим формулу производной степенной функции:

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Название	Функция	Производная
Константа	() = , ∈	0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателем	() =	· − 1
Синус	() = sin	cos
Косинус	() = cos	− sin (минус синус)
Тангенс	() = tg	1/cos2
Котангенс	() = ctg	− 1/sin2
Натуральный логарифм	() = ln	1/
Произвольный логарифм	() = log	1/( · ln )
Показательная функция	() =	(ничего не изменилось)

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю

Это очень важно помнить, так как требуется очень часто

2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса»

Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго

3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.

4. Производная переменной в степени -1

5. Производная квадратного корня

6. Производная синуса

7. Производная косинуса

8. Производная тангенса

9. Производная котангенса

10. Производная арксинуса

11. Производная арккосинуса

12. Производная арктангенса

13. Производная арккотангенса

14. Производная натурального логарифма

15. Производная логарифмической функции

16. Производная экспоненты

17. Производная показательной функции

16.Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума

Необходимое
условие экстремума

     
Функция
g(x) в точкеимеет
экстремум(максимум или минимум), если
функция определена в двухсторонней
окрестности точкии
для всех точек x  некоторой области:,
выполнено соответственно неравенство

(в
случае максимума) или (в
случае минимума).

Экстремум
функции находиться из условия:,
если производная существует, т.е.
приравниваем первую производную функции
к нулю.

Достаточное
условие экстремума

1) Первое
достаточное условие: 

Если:

а)
f(x) непрерывная
функция и
определена в некоторой окрестности
точкитакой,
что первая  производная в данной
точке равна нулю или не существует.

б)
f(x) имеет конечную производную в
окрестности задания и непрерывности
функции

в)
производная сохраняет определенный
знак справа от точкии
слева от этой же точки, тогда точкуможно
охарактеризовать следующим образом

    
Это
условие не очень удобное, так как нужно
проверять множество условий и запоминать
таблицу, однако если ничего не сказано
о производных высших порядках, то это
единственный способ найти экстремум
функции.

2) Второе
достаточное условие

    
Если функция g(x)
обладает второй производнойпричем
в некоторой точкепервая
производная равна нулю, а вторая
производная отлично от нуля. Тогда
точкаэкстремум
функции g(x), причем если,
то точка является максимумом; если,
то точка является минимумом.

3) Третье
достаточное условие

    
Пусть
функция g(x) имеет в некоторой окрестности
точки N
производных, причем значение первых (N
— 1)- ой и самой функции в этой точке равно
нулю, а значение N-ой производной отлично
от нуля. В таком случае:

а)
Если N — четно, то точка экстремум
функции:у
функции точка максимума,у
функции точка минимума.

б)
Если N — нечетно, то в точкеу
функции g(x) экстремума нет.

Абсолютный
экстремум

    
Наибольшее(наименьшее)
значение на сегменте непрерывной
функции g(x) достигается или в критической
точке этой функции(т.е. где производная
равна нулю или не существует), или в
граничных точках а и b данного сегмента.

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Производные простых функций

Производная от числас´ = 0
Пояснение:
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю.  
2. Производная переменной равна единице x´ = 1 

Пояснение:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.
3. Производная переменной и множителя равна этому множителю сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2 Пояснение:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.

Откуда следует, что (cx + b)’ = c то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю |x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0 Пояснение:
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает  выражение x / |x| . Когда x < 0 оно равно (-1), а когда x > 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.
5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу ( xc )’= cxc-1, при условии, что xc и сxc-1,определены а с ≠ 0
Пример:
(x2 )’ = 2x
(x3)’  = 3×2Для запоминания формулы:
Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x2  — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3×2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.
6. Производная дроби 1/х (1/х)’ = — 1 / x2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)’ = (x-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x-1 )’ = -1x-2 = — 1 / х2
7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе ( 1 / xc )’ = — c / xc+1
Пример:
( 1 / x2 )’ = — 2 / x3
8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)   ( √x )’ = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х-1/2
Пример:
( √x )’ = ( х1/2 )’   значит можно применить формулу из правила 5
( х1/2 )’ = 1/2 х-1/2 = 1 / (2√х)
9. Производная переменной под корнем произвольной степени ( n√x )’ = 1 / ( n n√xn-1 )
.

Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:

•  Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций 
•  Таблица производных тригонометрических функций.

2080.1947
 

Правила дифференцированияОписание курса Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций   

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

$v(t) = x'(t)$

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$