Содержание
- 1 IV группа. Сумма/разность — в произведение
- 2 Теоретический материал
- 3 Доказательство
- 4 Формулы приведения тригонометрических функций − теория, примеры и решения
- 5 Формулы понижения степени
- 6 Формулы приведения: список и таблицы
- 7 Тригонометрические формулы сложения углов
- 8 3. Два правила формул приведения, примеры.
- 9 Формулы суммы и разности тригонометрических функций
- 10 Четность и периодичность.
- 11 Примеры использования формул приведения
- 12 Формулы приведения. Как запомнить?
IV группа. Сумма/разность — в произведение
sinα + sinβ = 2·sin α + β____ 2·cos α − β____ 2 ;
sinα − sinβ = 2·sin α − β____ 2·cos α + β____ 2 ;
cosα + cosβ = 2·cosα + β____ 2·cosα − β____ 2 ;
cosα − cosβ = −2·sinα − β____ 2·sinα + β____ 2 ;
tgα + tgβ = sin(α + β)________cosα·cosβ ;
tgα − tgβ = sin(α − β)________cosα·cosβ .
sin(−α) = − sin(α); tg(−α) = − tg(α),
sin90º − sin30º = sin90º + sin(−30º) = 2·sin 90º + (−30º) __________ 2·cos 90º − (−30º)__________ 2 =
= 2·sin30º·cos60º = 2·(1/2)·(1/2) = 1/2.
Сумма cosα + cosβ не может изменить свой знак ни при каких изменениях знаков углов, поэтому произведение также должно состоять из четных функций, т.е. двух косинусов.
Знак разности cosα − cosβ зависит от значений самих функций, значит знак произведения должен зависеть от соотношения углов, поэтому произведение должно состоять из нечетных функций, т.е. двух синусов.
Пример α − β____ 2α + β____ 2 с ошибкой !
1) Пусть β = α, тогда
cosα − cosα = 2·sinα − α_____ 2·sinα + α_____ 2 = 2sin0·sinα = 0·sinα = 0. cosα − cosα ≡ 0.
2) Пусть β = − α, тогда
cosα − cos(− α) = 2·sinα − (−α)_______ 2·sinα + (−α)_______ 2 = 2sinα·sin0 = 0·sinα = 0. cosα − cos(− α) = cosα − cosα ≡ 0.
3) Пусть α = 90º, β = 30º, тогда
cos90º − cos30º = 2·sin90º − 30º________ 2·sin90º + 30º________ 2 = 2sin30º·sin60º = 2·(1/2)·(√3_/2) = √3_/2.
cos90 − cos30 = 0 − √3_/2 = −√3_/2 ≠ √3_/2.
Если ВСЕ рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы и оценить необходимые усилия на заучивание оставшихся.
Теоретический материал
Алгебра
Глава 11. Основные тригонометрические формулы.
11.4. Формулы приведения
Определение
Формулами привидения называются тождества, связывающие тригонометрические функции аргументов , ,
с функциями аргумента .
Эти формулы позволяют приводить тригонометрические функции любого аргумента к равной по значению тригонометрической функции острого угла. Все формулы приведения можно разбить на 3 группы.
Первая группа — для или (или ):; ;; ;; ;; .
Вторая группа — для (или ):; ;; ;; ;; .
Третья группа — для (или ):; ;; ;; ;; .
Каждую из этих формул можно написать, если знать следующих два правила.
Правило 1 для определения названия функции:
если откладывается от горизонтального диаметра (, вторая группа формул), то наименование приводимой функции (т.е. функции аргумента ) не меняется;
если же откладывается от вертикального диаметра (, ; первая и третья группы), то наименование приводимой функции заменяется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).
Правило 2 для определения знака функции:
какой знак (или ) имеет приводимая функция (стоящая в левой части тождества) в данной четверти, такой знак ставится и перед функцией аргумента а в правой части.
Определение
Два угла и , в сумме составляющие (или ), называются дополнительными (дополняют друг друга до ).
Первая колонка в первой группе формул выражает свойство таких углов.Сходные по наименованию функции дополнительных углов равны.
Еще одно важное свойство (формулы второй группы):
синусы углов и , составляющих в сумме или , равны, а косинусы их отличаются только знаками.
В формулах приведения может принимать любые значения из области определения функции, в том числе и , т.е. можно рассматривать как острый угол. Можно убедиться в правильности формул приведения, например, с помощью единичных тригонометрических кругов. Так, из равенства трех прямоугольных треугольников (см. рисунок ниже) следует что названия формул из второй группы меняться не будут: абсолютные величины одноименных функций, например , и будут одинаковые, так как равны меньшие катеты треугольников, и только знаком будет отличаться от .
11_4a
Отсюда: и ;Из равенства больших катетов и противоположной направленности абсцисс следует: и ;Для тангенса (и котангенса) можно получить так: и т.д.Из равенства треугольников на следующем рисунке видно, что абсцисса радиус-вектора равна ординате радиус-вектора ,
11_4b
поэтому ; а ордината отличается от абсциссы только знаком, поэтому получим равенство и т.д.
Аналогично для аргументов: и .
Доказательство
Теперь перейдем непосредственно к выводу формул понижения степени тригонометрических функций.
Чтобы доказать их для квадрата, нам понадобятся фождества двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`.
Формулу понижения степени синуса в квадрате получим, разрешив первое равенство относительно ` sin^2 \alpha`: `sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2`.
Аналогично и с косинусом в квадрате, получим тождество, разрешив второе равенство относительно ` cos^2 \alpha`: `cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2`.
Формула понижения степени тангенса и котангенса автоматически выводится из определений этих функций. Поскольку `tg \alpha=\frac {sin \alpha}{cos \alpha}`, то `tg^2 \alpha=\frac {sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}=` `\frac {\frac{1-cos \ 2\alpha}2}{\frac{1+cos \ 2\alpha}2}=\frac{1-cos \ 2\alpha}{1+cos \ 2\alpha}`. Аналогично получим `ctg^2 \alpha=\frac {cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}=` `\frac {\frac{1+cos \ 2\alpha}2}{\frac{1-cos \ 2\alpha}2}=\frac{1+cos \ 2\alpha}{1-cos \ 2\alpha}`.
Для лучшего усвоения теоретического материала рекомендуем посмотреть видео, где подробно описывается процесс доказательстве первых двух формул:
Если формулы тройного угла `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha` и
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha` разрешить относительно `sin \ 3\alpha` и `cos \ 3\alpha`, то получим формулы понижения степени для синуса и косинуса в кубе: `sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4` и `cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`.
Доказать данной равности для синуса и косинуса можно, воспользовавшись два раза формулами понижения квадратов:
`sin^4 \alpha=(sin^2 \alpha)^2=(\frac{1-cos \ 2\alpha}2)^2=` `\frac{1-2cos \ 2\alpha+cos^2 2\alpha}4=\frac{1-2cos \ 2\alpha+\frac{1+cos \ 4\alpha}2}4=` `\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`;
`cos^4 \alpha=(cos^2 \alpha)^2=(\frac{1+cos \ 2\alpha}2)^2=` `\frac{1+2cos \ 2\alpha+cos^2 2\alpha}4=\frac{1+2cos \ 2\alpha+\frac{1+cos \ 4\alpha}2}4=` `\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`.
Общий вид формул понижения степени
Для четных показателей степени (n=1, 2, 3,…):
`sin^n \alpha=\frac {C_\frac n 2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac n 2 -1} (-1)^{\frac n 2 -k} \cdot C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)` и `cos^n \alpha=\frac {C_\frac n 2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac n 2 -1} C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)`.
Для нечетных показателей степени (n=3, 5, 7,…):
`sin^n \alpha=\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac {n-1}2} (-1)^{\frac {n-1} 2 -k} \cdot C_k^n \cdot sin((n-2k) \alpha)` и `cos^n \alpha=\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac {n-1}2} C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)`.
Формулы приведения тригонометрических функций − теория, примеры и решения
Докажем формулы приведения тригонометрических функций для аргумента (или ) . (Здесь и далее все углы α острые т.е. меньше 90° (или меньше )). На декартовой прямоугольной системе координат проведем окружность с радиусом 1 и возьмем точки M1 и M2 так, чтобы , . Опустив перпендикуляры из точек M1 и M2 на ось OX, получим прямоугольные треугольники и (Рис.1).
Поскольку , то . Очевидно, что , так как гипотенузы этих прямоугольных треугольников равны и . Из равенства этих треугольников следует:
Из определений синуса и косинуса (о синусе и косинусе смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор) имеем:
или
Выведем, далее формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для аргумента (Рис.2).
Тангенсу угла соответствует ординат точки Q, что овечает отрезку QA, взятой со знаком минус (подробнее о тангенсе и котангенсе смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор ).
Котангенсу угла α соответствует абсцис точки P, что отвечает отрезку BP:
Прямоугольные треугольники QAO и PBO равны, так как, , . Тогда .
Из вышеизложенного следует:
или
Котангенс угла − это абсцис точки R, т.е.
Тангенс угла α − это ординат точки S, т.е.
Прямоугольные треугольники RBO и SAO равны, т.к. , , . Тогда .
Таким образом можно вывести формулу приведения функции котангенс для угла :
или
Выведем формулы приведения тригонометрических функций синус и косинус для угла (Рис.3):
Из следует и .
Тогда
или
Аналогично, выведем формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для угла (Рис.4):
Поскольку , следовательно . Тогда
или
Так как , следовательно . Тогда
или
Аналогично выводятся формулы приведения тригонометрический функций для углов , , .
Как запомнить формулы приведения?
Представленный выше онлайн калькулятор позволяет получить формулы приведения тригонометрических функциий. Отметим, однако, что зная несколько простых правил, эти формулы легко запомнить.
Во первых отметим, что угол α − это острый угол (т.е. меньше 90° или меньше ).
1. Аргумент функции должен быть представлен в виде , (или в градусах , ).
2. Для аргументов тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на конфункцию (т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов , тригонометрическая функция преобразуемого выражения не меняется.
3. Определяется знак исходной функций для данного аргумента. Полученая функция в правой части выражения будет иметь такой же знак.
Знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности представлены в рисунках (Рис.5, Рис.6).
Отметим, что угол α может быть также отрицательным. Все вышеизложенные соображения справедливы и в этом случае.
Пример 1. Записать формулу приведения для .
Решение. Согласно правилу 2 функция синус изменится на кофункцию (косинус). Функция синус для аргумента имеет знак «+» (угол находится во второй четверти, где знак синуса положительный (Рис.5)). Тогда получим следующую формулу:
Пример 2. Записать формулу приведения для .
Решение. Согласно правилу 2 функция тангенс останется на правой стороне формулы неизменним. Функция тангенс для аргумента имеет знак «−» (угол находится во второй четверти, где знак тангенса отрицательный (Рис.6)). Тогда получим:
Пример 3. Вычислить при помощи формул приведения следующее выражение .
Решение. Так как функция синус периодичная функция с основным периодом 2π (360°), то
Далее применяя формулу приведения, получим :
Пример 4. Вычислить при помощи формул приведения следующее выражение .
Решение. Так как функция косинус периодичная функция с основным периодом 2π (360°), то
Далее применяя формулу приведения, получим :
Ометим, что в последнем выражении аргумент 135° можно представить в виде 135°=90°+45°. Но конечный результат от этого не изменится:
Формулы понижения степени
Формулы квадратов (кубов и т. д.) тригонометрических функций позволяют перейти от 2,3,… степени к тригонометрическим функциям первой степени, но кратных углов (`\alpha, \ 3\alpha, \ …` или `2\alpha, \ 4\alpha, \ …`).
`sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac{1-cos \ \alpha}2)`
`cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac{1+cos \ \alpha}2)`
`sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4`
`cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`
`sin^4 \alpha=\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`
`cos^4 \alpha=\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`
Формулы приведения: список и таблицы
Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.
Сначала запишем все формулы приведения:
Для угла (`\frac {\pi}2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac {\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi — \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Для угла (`\frac {3\pi}2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac {3\pi}2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:
Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:
Тригонометрические формулы сложения углов
cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β
sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:
Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.
Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.
Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.
Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.
Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.
3. Два правила формул приведения, примеры.
Формул приведения много, но все они подчиняются двум правилам:
Первое правило:
Для аргументов функция меняется на кофункцию, т.е. синус на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот.
Для аргументов функция не меняется.
Примеры на первое правило:
Знак пока не учитываем, он определяется вторым правилом, пока важно понять, в каких случаях функция меняется на кофункцию, а в каких не меняется. 1)
1)
2)
3)
4)
Для аргументов вида наименование функции следует изменить на кофункцию.
5)
6)
7)
8)
Для аргументов вида наименование функции не меняется.
Второе правило (для знака приведенной функции, функции угла ).
1) Считаем угол острым,
2) Определяем четверть и знак в ней приводимой функции (функции слева).
3) Ставим этот знак перед приведенной к углу функцией (функцией справа).
Примечание: Угол может быть любым, острым мы его считаем условно, для применения правила.
Примеры на второе правило:
1)
Рис. 2.
Угол находится во второй четверти. Во второй четверти , ставим знак плюс.
2)
Рис
Угол находится в третьей четверти. В третьей четверти ставим знак минус.
3)
Рис. 4.
Угол находится во второй четверти. Во второй четверти ставим знак минус.
4)
Рис. 5.
Угол находится в четвёртой четверти. В четвёртой четверти ставим знак минус.
5)
Рис. 6.
Угол находится в третьей четверти. В третьей четверти ставим знак минус.
6)
Рис. 7.
Угол находится во второй четверти, во второй четверти ставим знак минус.
7)
Рис. 8.
Угол находится во второй четверти. Во второй четверти ставим знак минус.
8)
Рис. 9.
Угол находится в четвёртой четверти. В четвёртой четверти ставим знак минус.
Итак, мы рассмотрели различные примеры применения первого и второго правил формул приведения.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Формулы являют собой преобразования суммы и разности тригонометрических функций разных аргументов в произведение.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ cos \frac{\alpha-\beta}2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\alpha-\beta}2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac{\alpha+\beta}2 \ cos \frac{\alpha-\beta}2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\alpha-\beta}2=` `2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\beta-\alpha}2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac{sin(\alpha \pm \beta)}{cos \ \alpha \ cos \ \beta}`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac{sin(\beta \pm \alpha)}{sin \ \alpha \ sin \ \beta}`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac{cos(\alpha \mp \beta)}{cos \ \alpha \ sin \ \beta}`
Здесь происходит преобразование сложения и вычитаний функций одного аргумента в произведение.
`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt{2} \ cos (\frac{\pi}4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt{2} \ sin (\frac{\pi}4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \ cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ ctg \2\alpha`
Следующие формулы преобразовывают сумму и разность единицы и тригонометрической функции в произведение.
`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac{\alpha}2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac{\alpha}2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac {\pi} 4-\frac{\alpha}2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac {\pi} 4-\frac{\alpha}2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac{sin(\frac{\pi}4 \pm \alpha)}{cos \frac{\pi}4 \ cos \ \alpha}=` `\frac{\sqrt{2} sin(\frac{\pi}4 \pm \alpha)}{cos \ \alpha}`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac{cos(\alpha \mp \beta)}{cos \ \alpha \ cos \ \beta};` ` \ ctg \ \alpha \ ctg \ \beta \pm 1=\frac{cos(\alpha \mp \beta)}{sin \ \alpha \ sin \ \beta}`
Четность и периодичность.
Функция называется четной, если f(–x) = f(x). Функции косинус и секанс – четные, а синус, тангенс, котангенс и косеканс – функции нечетные:
sin (–α) = – sin α | tg (–α) = – tg α |
cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
sec (–α) = sec α | cosec (–α) = – cosec α |
Свойства четности вытекают из симметричности точек Pa и Р—a(рис. 14) относительно оси х.При такой симметрии ордината точки меняет знак ((х; у)переходит в (х; –у)). Все функции – периодические, синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2p,а тангенс и котангенс – p:
sin (α + 2kπ) = sin α | cos (α + 2kπ) = cos α |
tg (α + kπ) = tg α | ctg (α + kπ) = ctg α |
sec (α + 2kπ) = sec α | cosec (α + 2kπ) = cosec α |
Периодичность синуса и косинуса следует из того, что все точки Pa + 2kp, где k = 0, ±1, ±2,…, совпадают, а периодичность тангенса и котангенса – из того, что точки Pa + kpпоочередно попадают в две диаметрально противоположные точки окружности, дающие одну и ту же точку на оси тангенсов.
Основные свойства тригонометрических функций могут быть сведены в таблицу:
Функция | Область определения | Множество значений | Четность | Участки монотонности (k = 0, ± 1, ± 2,…) |
sin x | –Ґ x Ґ | нечетная | возрастает при x О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2),убывает при x О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p/2) | |
cos x | –Ґ x Ґ | четная | Возрастает приx О ((2k – 1) p, 2kp),убывает приx О (2kp, (2k + 1) p) | |
tg x | x № p/2 + pk | (–Ґ, +Ґ) | нечетная | возрастает приx О ((2k – 1) p /2, (2k + 1) p /2) |
ctg x | x № pk | (–Ґ, +Ґ) | нечетная | убывает приx О (kp, (k + 1) p) |
sec x | x № p/2 + pk | (–Ґ, –1] И [+1, +Ґ) | четная | Возрастает приx О (2kp, (2k + 1) p),убывает приx О ((2k – 1) p, 2kp) |
cosec x | x № pk | (–Ґ, –1] И [+1, +Ґ) | нечетная | возрастает приx О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p/2),убывает приx О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2) |
Примеры использования формул приведения
Цель этого пункта заключается в том, чтобы показать, как формулы приведения используются на практике при решении примеров.
Для начала стоит сказать, что существует бесконечное число способов представления угла под знаком тригонометрических функций в виде и . Это связано с тем, что угол может принимать любое значение. Покажем это на примере.
Для примера возьмем угол под знаком тригонометрической функции равным . Этот угол можно представить как , или как , или как , или еще множеством других способов.
А теперь давайте посмотрим, какие формулы приведения нам придется использовать в зависимости от представления угла. Для примера возьмем .
Если мы представим угол как , то этому представлению отвечает формула приведения вида , откуда получаем . Мы здесь можем указать значение тригонометрической функции: .
Для представления мы уже будем использовать формулу вида , которая нас приводит к следующему результату: .
Наконец, , так как соответствующая формула приведения имеет вид .
В заключение этих рассуждений стоит особо отметить, что существуют определенные удобства при использовании представлений угла, в которых угол имеет величину от до 90 градусов (от до пи пополам радиан).
Рассмотрим еще пример применения формул приведения.
Пример.
Используя формулы приведения, представьте через синус, а также через косинус острого угла.
Решение.
Чтобы применить формулы приведения, нам нужно угол 197 градусов представить в виде или , причем по условию задачи угол должен быть острым. Это можно сделать двумя способами: или . Таким образом, или .
Обратившись к соответствующим формулам приведения и , получаем и .
Ответ:
и .
Формулы приведения. Как запомнить?
Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!» – это значит, что действительно, это необходимо именно выучить.
Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.
Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:
- задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.
- задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.
- задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.
- стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.
И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.
Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?
Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от 0 до 450 градусов
Формулы приведения:
Угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов.
Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:
Определите знак функции в соответствующей четверти.
Напомню их:
Запомните следующее:
Функция изменяется на кофункцию
Функция на кофункцию не изменяется
Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?
Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.
Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:
Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:
- Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов.
- Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов.
- Угол лежит во второй четверти, синус во второй четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов.
Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.
В статье на решение прямоугольного треугольника был отмечен такой факт – синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.
И наоборот – косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого острого угла в нём. Вот вам и подтверждение этого с помощью формул приведения.
Конечно, определить значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.
В дальнейшем, применяя свойство периодичности, четности (нечётности) вы без труда определите значение любого угла: 10500, -7500, 23700 и любые другие. Статья об этом в будущем обязательно будет, не пропустите!
Когда в решениях задач буду использовать формулы приведения, то обязательно буду ссылаться на эту статью, чтобы вы всегда смогли освежить в памяти представленную выше теорию. На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.