Основные тригонометрические формулы

IV группа. Сумма/разность — в произведение

sinα + sinβ = 2·sin α + β____   2·cos α − β____   2 ;

sinα − sinβ = 2·sin α − β____   2·cos α + β____   2 ;

cosα + cosβ = 2·cosα + β____   2·cosα − β____   2 ;

cosα − cosβ = −2·sinα − β____   2·sinα + β____   2 ;

tgα + tgβ = sin(α + β)________cosα·cosβ ;

tgα − tgβ = sin(α − β)________cosα·cosβ .

sin(−α) = − sin(α);  tg(−α) = − tg(α),

sin90º − sin30º = sin90º + sin(−30º) = 2·sin 90º + (−30º) __________     2·cos 90º − (−30º)__________     2  =
= 2·sin30º·cos60º = 2·(1/2)·(1/2) = 1/2.

Сумма cosα + cosβ не может изменить свой знак ни при каких изменениях знаков углов, поэтому произведение также должно состоять из четных функций, т.е. двух косинусов.

Знак разности cosα − cosβ зависит от значений самих функций, значит знак произведения должен зависеть от соотношения углов, поэтому произведение должно состоять из нечетных функций, т.е. двух синусов.

Пример α − β____   2α + β____   2 с ошибкой !

1) Пусть β = α, тогда
cosα − cosα = 2·sinα − α_____   2·sinα + α_____   2  = 2sin0·sinα = 0·sinα = 0.   cosα − cosα ≡ 0.

2) Пусть β = − α, тогда
cosα − cos(− α) = 2·sinα − (−α)_______   2·sinα + (−α)_______   2  = 2sinα·sin0 = 0·sinα = 0.   cosα − cos(− α) = cosα − cosα ≡ 0.

3) Пусть α = 90º, β = 30º, тогда
cos90º − cos30º = 2·sin90º − 30º________   2·sin90º + 30º________   2  = 2sin30º·sin60º = 2·(1/2)·(√3_/2) = √3_/2.

cos90 − cos30 = 0 − √3_/2 = −√3_/2 ≠ √3_/2.

Если ВСЕ рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы и оценить необходимые усилия на заучивание оставшихся.

Теоретический материал

Алгебра

Глава 11. Основные тригонометрические формулы.

11.4. Формулы приведения

Определение

Формулами привидения называются тождества, связывающие тригонометрические функции аргументов , ,

с функциями аргумента .

Эти формулы позволяют при­водить тригонометрические функции любого аргумента к равной по значению тригонометрической функции острого угла. Все формулы приведения можно разбить на 3 группы.

Первая группа — для или (или ):; ;; ;; ;; .

Вторая группа — для (или ):; ;; ;; ;; .

Третья группа — для (или ):; ;; ;; ;; .

Каждую из этих формул можно написать, если знать следующих два правила.

Правило 1 для определения названия функции:

если откладывается от горизонтального диаметра (, вторая группа формул), то наименование приво­димой функции (т.е. функции аргумента ) не меняется;

если же откладывается от вертикального диаметра (, ; первая и третья группы), то наименование приводимой функции заменяется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

Правило 2 для определения знака функции:

какой знак (или ) имеет приводимая функция (стоящая в левой части тождества) в данной четверти, такой знак ставится и перед функцией аргумента а в пра­вой части.

Определение

Два угла и , в сумме составляющие (или ), называются дополнительными (дополняют друг друга до ).

Первая колонка в первой группе формул выражает свойство таких углов.Сходные по наименованию функции дополнительных углов равны.

Еще одно важное свойство (формулы второй группы):

синусы углов и , составляющих в сумме или , равны, а косинусы их отличаются только знаками.

В формулах приведения может принимать любые значения из области определения функции, в том числе и , т.е. можно рассматривать как острый угол. Можно убедиться в правильности формул приведения, например, с помощью единичных тригонометрических кругов. Так, из равенства трех прямоугольных треугольников (см. рисунок ниже) следует что названия формул из второй группы меняться не будут: абсолютные величины одноименных функций, например , и будут одинаковые, так как равны меньшие катеты треугольников, и только знаком будет отличаться от .

11_4a

Отсюда: и ;Из равенства больших катетов и противоположной направленности абсцисс следует: и ;Для тангенса (и котангенса) можно получить так: и т.д.Из равенства треугольников на следующем рисунке видно, что абсцисса радиус-вектора равна ординате радиус-вектора ,

11_4b

поэтому ; а ордината отличается от абсциссы только знаком, поэтому получим равенство и т.д.

Аналогично для аргументов: и .

Доказательство

Теперь перейдем непосредственно к выводу формул понижения степени тригонометрических функций.

Чтобы доказать их для квадрата, нам понадобятся фождества двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`.

Формулу понижения степени синуса в квадрате получим, разрешив первое равенство относительно ` sin^2 \alpha`: `sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2`.

Аналогично и с косинусом в квадрате, получим тождество, разрешив второе равенство относительно ` cos^2 \alpha`: `cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2`.

Формула понижения степени тангенса и котангенса автоматически выводится из определений этих функций. Поскольку `tg  \alpha=\frac {sin \alpha}{cos \alpha}`, то `tg^2 \alpha=\frac {sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}=` `\frac {\frac{1-cos \ 2\alpha}2}{\frac{1+cos \ 2\alpha}2}=\frac{1-cos \ 2\alpha}{1+cos \ 2\alpha}`. Аналогично получим `ctg^2 \alpha=\frac {cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}=` `\frac {\frac{1+cos \ 2\alpha}2}{\frac{1-cos \ 2\alpha}2}=\frac{1+cos \ 2\alpha}{1-cos \ 2\alpha}`.

Для лучшего усвоения теоретического материала рекомендуем посмотреть видео, где подробно описывается процесс доказательстве первых двух формул:

Если формулы тройного угла `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha` и
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha` разрешить относительно `sin \ 3\alpha` и `cos \ 3\alpha`, то получим формулы понижения степени для синуса и косинуса  в кубе: `sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4` и `cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`.

Доказать данной равности для синуса и косинуса можно, воспользовавшись два раза формулами понижения квадратов:

`sin^4 \alpha=(sin^2 \alpha)^2=(\frac{1-cos \ 2\alpha}2)^2=` `\frac{1-2cos \ 2\alpha+cos^2 2\alpha}4=\frac{1-2cos \ 2\alpha+\frac{1+cos \ 4\alpha}2}4=` `\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`;

`cos^4 \alpha=(cos^2 \alpha)^2=(\frac{1+cos \ 2\alpha}2)^2=` `\frac{1+2cos \ 2\alpha+cos^2 2\alpha}4=\frac{1+2cos \ 2\alpha+\frac{1+cos \ 4\alpha}2}4=` `\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`.

Общий вид формул понижения степени

Для четных показателей степени (n=1, 2, 3,…):

`sin^n \alpha=\frac {C_\frac n 2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac n 2 -1} (-1)^{\frac n 2 -k} \cdot C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)` и `cos^n \alpha=\frac {C_\frac n 2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac n 2 -1} C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)`.

Для нечетных показателей степени (n=3, 5, 7,…):

`sin^n \alpha=\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac {n-1}2} (-1)^{\frac {n-1} 2 -k} \cdot C_k^n \cdot sin((n-2k) \alpha)` и `cos^n \alpha=\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac {n-1}2} C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)`.

Формулы приведения тригонометрических функций − теория, примеры и решения

Докажем формулы приведения тригонометрических функций для аргумента (или ) . (Здесь и далее все углы α острые т.е. меньше 90° (или меньше )). На декартовой прямоугольной системе координат проведем окружность с радиусом 1 и возьмем точки M₁ и M₂ так, чтобы , . Опустив перпендикуляры из точек M₁ и M₂ на ось OX, получим прямоугольные треугольники и (Рис.1).

Поскольку , то . Очевидно, что , так как гипотенузы этих прямоугольных треугольников равны и . Из равенства этих треугольников следует:

Из определений синуса и косинуса (о синусе и косинусе смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор) имеем:

или

Выведем, далее формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для аргумента (Рис.2).

Тангенсу угла соответствует ординат точки Q, что овечает отрезку QA, взятой со знаком минус (подробнее о тангенсе и котангенсе смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор ).

Котангенсу угла α соответствует абсцис точки P, что отвечает отрезку BP:

Прямоугольные треугольники QAO и PBO равны, так как, , . Тогда .

Из вышеизложенного следует:

или

Котангенс угла − это абсцис точки R, т.е.

Тангенс угла α − это ординат точки S, т.е.

Прямоугольные треугольники RBO и SAO равны, т.к. , , . Тогда .

Таким образом можно вывести формулу приведения функции котангенс для угла :

или

Выведем формулы приведения тригонометрических функций синус и косинус для угла (Рис.3):

Из следует и .

Тогда

или

Аналогично, выведем формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для угла (Рис.4):

Поскольку , следовательно . Тогда

или

Так как , следовательно . Тогда

или

Аналогично выводятся формулы приведения тригонометрический функций для углов , , .

Как запомнить формулы приведения?

Представленный выше онлайн калькулятор позволяет получить формулы приведения тригонометрических функциий. Отметим, однако, что зная несколько простых правил, эти формулы легко запомнить.

Во первых отметим, что угол α − это острый угол (т.е. меньше 90° или меньше ).

1. Аргумент функции должен быть представлен в виде , (или в градусах , ).

2. Для аргументов тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на конфункцию (т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов , тригонометрическая функция преобразуемого выражения не меняется.

3. Определяется знак исходной функций для данного аргумента. Полученая функция в правой части выражения будет иметь такой же знак.

Знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности представлены в рисунках (Рис.5, Рис.6).

Отметим, что угол α может быть также отрицательным. Все вышеизложенные соображения справедливы и в этом случае.

Пример 1. Записать формулу приведения для .

Решение. Согласно правилу 2 функция синус изменится на кофункцию (косинус). Функция синус для аргумента имеет знак «+» (угол находится во второй четверти, где знак синуса положительный (Рис.5)). Тогда получим следующую формулу:

Пример 2. Записать формулу приведения для .

Решение. Согласно правилу 2 функция тангенс останется на правой стороне формулы неизменним. Функция тангенс для аргумента имеет знак «−» (угол находится во второй четверти, где знак тангенса отрицательный (Рис.6)). Тогда получим:

Пример 3. Вычислить при помощи формул приведения следующее выражение .

Решение. Так как функция синус периодичная функция с основным периодом 2π (360°), то

Далее применяя формулу приведения, получим :

Пример 4. Вычислить при помощи формул приведения следующее выражение .

Решение. Так как функция косинус периодичная функция с основным периодом 2π (360°), то

Далее применяя формулу приведения, получим :

Ометим, что в последнем выражении аргумент 135° можно представить в виде 135°=90°+45°. Но конечный результат от этого не изменится:

Формулы понижения степени

Формулы квадратов (кубов и т. д.) тригонометрических функций позволяют перейти от 2,3,… степени к тригонометрическим функциям первой степени, но кратных углов (`\alpha, \ 3\alpha, \ …` или `2\alpha, \ 4\alpha, \ …`).
`sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac{1-cos \ \alpha}2)`
`cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac{1+cos \ \alpha}2)`
`sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4`
`cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`
`sin^4 \alpha=\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`
`cos^4 \alpha=\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`

Формулы приведения: список и таблицы

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.

Сначала запишем все формулы приведения:

Для угла (`\frac {\pi}2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac {\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi — \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Для угла (`\frac {3\pi}2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac {3\pi}2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α 
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

3. Два правила формул приведения, примеры.

Фор­мул при­ве­де­ния много, но все они под­чи­ня­ют­ся двум пра­ви­лам:

Пер­вое пра­ви­ло:

Для ар­гу­мен­тов  функ­ция ме­ня­ет­ся на ко­функ­цию, т.е. синус на ко­си­нус и на­о­бо­рот, тан­генс на ко­тан­генс и на­о­бо­рот.

Для ар­гу­мен­тов  функ­ция не ме­ня­ет­ся.

При­ме­ры на пер­вое пра­ви­ло:

Знак пока не учи­ты­ва­ем, он опре­де­ля­ет­ся вто­рым пра­ви­лом, пока важно по­нять, в каких слу­ча­ях функ­ция ме­ня­ет­ся на ко­функ­цию, а в каких не ме­ня­ет­ся. 1) 

1) 

2) 

3) 

4) 

Для ар­гу­мен­тов вида на­име­но­ва­ние функ­ции сле­ду­ет из­ме­нить на ко­функ­цию.

5) 

6) 

7) 

8) 

Для ар­гу­мен­тов вида на­име­но­ва­ние функ­ции не ме­ня­ет­ся.

Вто­рое пра­ви­ло (для знака при­ве­ден­ной функ­ции, функ­ции угла ).

1) Счи­та­ем угол  ост­рым, 

2) Опре­де­ля­ем чет­верть и знак в ней при­во­ди­мой функ­ции (функ­ции слева).

3) Ста­вим этот знак перед при­ве­ден­ной к углу  функ­ци­ей (функ­ци­ей спра­ва).

При­ме­ча­ние: Угол  может быть любым, ост­рым мы его счи­та­ем услов­но, для при­ме­не­ния пра­ви­ла.

При­ме­ры на вто­рое пра­ви­ло:

1)  

Рис. 2.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти , ста­вим знак плюс.

2) 

Рис

Угол  на­хо­дит­ся в тре­тьей чет­вер­ти. В тре­тьей чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

3) 

Рис. 4.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

4) 

Рис. 5.

Угол  на­хо­дит­ся в чет­вёр­той чет­вер­ти. В чет­вёр­той чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

5) 

Рис. 6.

Угол  на­хо­дит­ся в тре­тьей чет­вер­ти. В тре­тьей чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

6) 

Рис. 7.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти, во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

7) 

Рис. 8.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

8) 

Рис. 9.

Угол  на­хо­дит­ся в чет­вёр­той чет­вер­ти. В чет­вёр­той чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

Итак, мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные при­ме­ры при­ме­не­ния пер­во­го и вто­ро­го пра­вил фор­мул при­ве­де­ния.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Формулы являют собой преобразования суммы и разности тригонометрических функций разных аргументов в произведение.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ cos \frac{\alpha-\beta}2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\alpha-\beta}2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac{\alpha+\beta}2 \ cos \frac{\alpha-\beta}2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\alpha-\beta}2=` `2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\beta-\alpha}2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac{sin(\alpha \pm \beta)}{cos \ \alpha \ cos \ \beta}`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac{sin(\beta \pm \alpha)}{sin \ \alpha \ sin \ \beta}`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac{cos(\alpha \mp \beta)}{cos \ \alpha \ sin \ \beta}`

Здесь происходит преобразование сложения и вычитаний функций одного аргумента в произведение.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt{2} \ cos (\frac{\pi}4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt{2} \ sin (\frac{\pi}4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \ cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ ctg \2\alpha`

Следующие формулы преобразовывают сумму и разность единицы и тригонометрической функции в произведение.

`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac{\alpha}2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac{\alpha}2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac {\pi} 4-\frac{\alpha}2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac {\pi} 4-\frac{\alpha}2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac{sin(\frac{\pi}4 \pm \alpha)}{cos \frac{\pi}4 \ cos \ \alpha}=` `\frac{\sqrt{2} sin(\frac{\pi}4 \pm \alpha)}{cos \ \alpha}`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac{cos(\alpha \mp \beta)}{cos \ \alpha \ cos \ \beta};` ` \ ctg \ \alpha \ ctg \ \beta \pm 1=\frac{cos(\alpha \mp \beta)}{sin \ \alpha \ sin \ \beta}`

Четность и периодичность.

Функция называется четной, если f(–x) = f(x). Функции косинус и секанс – четные, а синус, тангенс, котангенс и косеканс – функции нечетные:

sin (–α) = – sin α	tg (–α) = – tg α
cos (–α) = cos α	ctg (–α) = – ctg α
sec (–α) = sec α	cosec (–α) = – cosec α

Свойства четности вытекают из симметричности точек P_a и Р_—a(рис. 14) относительно оси х.При такой симметрии ордината точки меняет знак ((х; у)переходит в (х; –у)). Все функции – периодические, синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2p,а тангенс и котангенс – p:

sin (α + 2kπ) = sin α	cos (α + 2kπ) = cos α
tg (α + kπ) = tg α	ctg (α + kπ) = ctg α
sec (α + 2kπ) = sec α	cosec (α + 2kπ) = cosec α

Периодичность синуса и косинуса следует из того, что все точки P_{a + 2kp}, где k = 0, ±1, ±2,…, совпадают, а периодичность тангенса и котангенса – из того, что точки P_{a + kp}поочередно попадают в две диаметрально противоположные точки окружности, дающие одну и ту же точку на оси тангенсов.

Основные свойства тригонометрических функций могут быть сведены в таблицу:

Функция	Область определения	Множество значений	Четность	Участки монотонности (k = 0, ± 1, ± 2,…)
sin x	–Ґ x Ґ		нечетная	возрастает при x О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2),убывает при x О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
cos x	–Ґ x Ґ		четная	Возрастает приx О ((2k – 1) p, 2kp),убывает приx О (2kp, (2k + 1) p)
tg x	x № p/2 + pk	(–Ґ, +Ґ)	нечетная	возрастает приx О ((2k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg x	x № pk	(–Ґ, +Ґ)	нечетная	убывает приx О (kp, (k + 1) p)
sec x	x № p/2 + pk	(–Ґ, –1] И [+1, +Ґ)	четная	Возрастает приx О (2kp, (2k + 1) p),убывает приx О ((2k – 1) p, 2kp)
cosec x	x № pk	(–Ґ, –1] И [+1, +Ґ)	нечетная	возрастает приx О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p/2),убывает приx О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)

Примеры использования формул приведения

Цель этого пункта заключается в том, чтобы показать, как формулы приведения используются на практике при решении примеров.

Для начала стоит сказать, что существует бесконечное число способов представления угла под знаком тригонометрических функций в виде и . Это связано с тем, что угол может принимать любое значение. Покажем это на примере.

Для примера возьмем угол под знаком тригонометрической функции равным . Этот угол можно представить как , или как , или как , или еще множеством других способов.

А теперь давайте посмотрим, какие формулы приведения нам придется использовать в зависимости от представления угла. Для примера возьмем .

Если мы представим угол как , то этому представлению отвечает формула приведения вида , откуда получаем . Мы здесь можем указать значение тригонометрической функции: .

Для представления мы уже будем использовать формулу вида , которая нас приводит к следующему результату: .

Наконец, , так как соответствующая формула приведения имеет вид .

В заключение этих рассуждений стоит особо отметить, что существуют определенные удобства при использовании представлений угла, в которых угол имеет величину от до 90 градусов (от до пи пополам радиан).

Рассмотрим еще пример применения формул приведения.

Пример.

Используя формулы приведения, представьте через синус, а также через косинус острого угла.

Решение.

Чтобы применить формулы приведения, нам нужно угол 197 градусов представить в виде или , причем по условию задачи угол должен быть острым. Это можно сделать двумя способами: или . Таким образом, или .

Обратившись к соответствующим формулам приведения и , получаем и .

Ответ:

и .

Формулы приведения. Как запомнить?

Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы  в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо  запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!»  – это значит, что  действительно,  это необходимо  именно выучить.

Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.

Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:

• задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.
• задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.
• задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.
• стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.

И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.

Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от  0 до 450 градусов

Формулы приведения:

Угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов.

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

Определите знак функции в соответствующей четверти.

Напомню их:

Запомните следующее:

Функция изменяется на кофункцию

Функция на кофункцию не изменяется

Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?

Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.

Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

• Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов.
• Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов.
• Угол лежит во второй  четверти, синус во второй  четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов.

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

В статье на решение прямоугольного треугольника был отмечен такой факт  –  синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.

И наоборот – косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого острого угла в нём. Вот вам и подтверждение этого с помощью формул приведения.

Конечно, определить  значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.

В дальнейшем, применяя свойство периодичности, четности (нечётности) вы без труда определите значение любого угла: 10500, -7500, 23700 и любые другие. Статья об этом в будущем обязательно будет, не пропустите!

Когда в решениях задач буду использовать формулы приведения, то обязательно буду ссылаться на эту статью, чтобы вы всегда смогли освежить в памяти представленную выше теорию. На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.