Степенная функция и ее производная. 11-й класс

Ход урока

Комбинированный урок

• ознакомление с темой урока, постановка его целей и задач;
• проверка домашнего задания;
• проверка знаний и умений учащихся по пройденному материалу;
• изложение нового материала;
• первичное закрепление изученного;
• подведение итогов урока и постановка домашнего задания

I. Мотивационная беседа

Как выдумаете, зачем надо изучать математику? Ответ на этот вопрос вы найдете, если вспомните, что означает в переводе с греческого слово «математика». «Математика» — знание, наука. Именно поэтому, если человек был сведущ в математике, то это всегда означало высшую степень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Хочется, чтобы сегодня все ученики вашего класса показали, насколько они мудры и насколько сведущие люди в математике 11 класса. Итак, тема «Степенная функция и ее производная».

II. Проверка домашнего задания

(Взаимопроверка по составленным учениками карточек по проверке производной показательной и логарифмической функции.) Учитель подводит итоги проверки домашней работы. Может контролировать ответы учащихся, корректирует и дополняет записи в тетрадях.

Учитель подводит итоги выполнения классом домашнего задания.

Прежде чем перейдем к изучению новой темы, необходимо вспомнить теоретический материал.

Систематизация знаний и умений по пройденному материалу

Для подготовки учащихся к усвоению нового материала повторяются и систематизируются их знания и умения в процессе устного решения упражнений на готовых чертежах.

Слайд. Установите вид зависимости. Запишите формулу.

Слайд. Какие из формул обозначают показательную, логарифмическую и степенную функции?

Слайд. Определить график, какой функции изображен?

Слайд с теоретическими вопросами. Для повторения основных формул используется презентация. На экране последовательно появляются левые части формул, и после ответа учащихся к ним присоединяется правая часть. Если учащиеся не называют какое-либо формулу, то его напоминает учитель. При завершении опроса все формулы высвечиваются на экране.

III. Исследовательская работа

Учитель: А сейчас проведем исследовательскую работу. Получите задания.

1. Чему равна производная у = , где n натуральное число?
2. Запишите, чему равна производная у = х – n?
3. Сделайте вывод, для любого справедлива формула  …, где m любое целое число.
4. Вспомните, чему равна производная ?
5. Чему равна производная ?
6. Сделайте вывод, …, где  — любое рациональное число.
7. Найдите доказательство этой формулы в учебнике на стр.260 3-й абзац сверху.

Слайд. Формула производной степенной функции. (Вывод с доказательством записывается в тетради).

IV. Первичное закрепление изученного

Для закрепления изученного учащимся предлагается сначала прочитать содержание п.43 учебника. Затем учитель отвечает на возникшие у ребят вопросы.

Работа в группах. Каждой группе раздаются листы с заданиями.

Слайд. Тест на соответствие (после выполнения, физминутка)

Слайд. Графический диктант.

Разноуровневая самостоятельная работа.

V. Постановка домашнего задания

На дом задается содержание п.41-43 и решить задачи №559(б,в), 562(в,г), 563(б,г), 564(а,в)

Обратите внимание на то, что необходимо знать формулы производной не только степенной функции, но и всех ранее изученных. Уметь доказывать вывод формулы производной степенной функции

Самостоятельно познакомиться с первообразной степенной функции.

VI. Подведение итогов

Вы замечательно поработали. Посчитайте свои баллы, я поставлю вам оценки.

Еще раз проверить формулы производных и графики.

VII. Резервные задания

Задача 10.

На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .

Решение: + показать

На рисунке изображен график производной, значит нас на этом рисунке будут интересовать только знаки и нули производной.

Мы видим на рисунке на указанном отрезке () три нуля у . Причем, производная мняет знак при переходе через них. Это точки экстремума функции (точки максимума и минимума).

При этом производная меняет знак с «+» на «-» в точке 8, помеченной красным цветом, и с «-» на «+» в двух точках (3 и 12), помеченных синим цветом.

Так вот при переходе через точку максимума функция меняет возрастание на убывание, а значит производная меняет знак с «+» на «-».

Итак, точка максимума одна (помечена красным цветом).

Ответ: 1.

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности

2. Производная произведения

2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель

3. Производная частного

4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

Правило 2. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций»

Здесь же (далее) — более простые примеры на производную произведения и частного, на которых Вы увереннее освоите алгоритмы вычислений.

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u’v, в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции

посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями

иДействия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Похожие ГДЗ Алгебра 11 класс

Александрова
Самостоятельные работы (Базовый и углубл уровень)
Алгебра
11 класс
«Мнемозина»

Самостоятельная работа №1:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №2:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №3:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №4:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №5:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №6:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №7:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №8:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №9:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №10:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №11:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №12:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №13:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №14:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №15:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №16:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №17:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №18:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №19:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №20:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №21:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №22:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №23:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №24:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №25:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №26:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №27:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №28:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №29:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №30:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №31:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №32:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №33:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №34:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №35:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №36:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №37:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №38:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №39:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №40:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №41:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4Самостоятельная работа №42:
вариант 1вариант 2вариант 3вариант 4

Предыдущий

Следующий