Разбор 2 задания егэ по информатике

Решение №1

Давайте сначала определимся с тем, что у нас есть в задаче:

  • логическая функция F, заданная некоторым выражением. Элементы таблицы истинности этой функции также представлены в задаче в виде таблицы. Таким образом, при подстановке конкретных значений x, y, z из таблицы в выражение результат должен совпасть с тем, который дан в таблицы (см. пояснение ниже).
  • Переменные x, y, z и три столбца, которые им соответствуют. При этом мы в этой задаче не знаем, какой столбец какой переменной соответствует. То есть, в столбце Перем. 1 может быть как x, так и y или z.
  • Нас просят как раз определить, какой столбец какой переменной соответствует.

Рассмотрим пример. 

  1. Пусть Перем. 1 — это x, Перем. 2 — это y, Перем. 3 — это z.
  2. Рассмотрим, к примеру, вторую строку таблицы (можно было бы взять любую). В ней x = 0, y = 0, z = 1.
  3. При этом, согласно таблице, выражение F должно равняться 1.

    ЕГЭ 2016, задача 2. Логическая функция F и таблица истинности.

  4. Давайте подставим значения x,y,z в нашу формулу:

    \((\neg z) \wedge x \vee x\wedge y = \\ = (\neg 1) \wedge 0 \vee 0\wedge 0 = \\ = 0\wedge 0 \vee 0\wedge 0 = \\ = 0 \vee 0 = 0\)

  5. То есть, путём подстановки мы получили результат 0, хотя согласно таблице истинности результат должен равняться 1.
  6. Таким образом, невозможно, чтобы Перем. 1 была x, Перем. 2 — y, а Перем. 3 — z, так как в этом случае результат подстановки формулы в таблицу в строку 2 не сходится со значением, указанным в этой же таблице.

Решение

  1. Вернёмся теперь к решению. Давайте внимательно посмотрим на формулу: \((\neg z) \wedge x \vee x\wedge y\)
  2. В ней имеется две конструкции с конъюнкцией, соединённые дизъюнкцией. Как известно, чаще всего дизъюнкция истинна (для этого достаточно, чтобы одно из слагаемых было истинным).
  3. Давайте рассмотрим тогда внимательно строчки, где выражение F — ложно.
  4. Первая строчка нам неинтересна, так как в ней не определить, где что (все значения одинаковы).
  5. Рассмотрим тогда предпоследнюю строчку, в ней больше всего 1, но результат равен 0.
  6. Может ли z быть в третьем столбце? Нет, так как в этом случае в формуле будут везде 1, а, следовательно, и результат будет равняться 1, но согласно таблице истинности значение F в этой строке равно 0. Следовательно, z не может быть Перем. 3.
  7. Аналогично для предыдущей строки имеем, что z не может быть Перем. 2.
  8. Следовательно, z — это Перем. 1.
  9. Зная, что z — в первом столбце, рассмотрим третью строчку. Может ли x быть во втором столбце? Подставим значения:\((\neg z) \wedge x \vee x\wedge y = \\ = (\neg 0) \wedge 1 \vee 1\wedge 0 = \\ = 1 \wedge 1 \vee 0 = \\ = 1 \vee 0 = 1\)
  10. Однако, согласно таблице истинности, результат должен равняться 0.
  11. Следовательно, х не может быть Перем. 2. 
  12. Следовательно, x — это Перем. 3.
  13. Следовательно, по методу исключения, y — это Перем. 2.
  14. Таким образом, ответ звучит следующим образом: zyx (z — Перем. 1, y — Перем. 2, x — Перем. 3).​

Построение таблиц истинности для логических выражений

Таблица истинности для логического выражения (функции) показывает соответствие всех возможных наборов значений логических переменных значению выражения. Для наглядности и упрощения вычислений в таблицу добавляют столбцы логических операций, которые являются составными частями выражения.

Для того, чтобы построить таблицу истинности выражения нужно:

  • Определить количество переменных, участвующих в выражении
  • Определить количество составляющих выражение логических операций
  • Заполнить строки таблицы всеми возможными наборами значений переменных. Наборы значений лучше представлять в виде двоичных чисел. Например, для трех переменных нужно заполнить восемь строк с 000 до 111.
  • Вычислить и заполнить промежуточные операции в таблице
  • Вычислить и заполнить значение логического выражения

Задача: Построить таблицу истинности для логического выражения \(  \overline{x} ⋅ y  + x ⋅ \overline{y} \)

Решение: 

ПеременныеПромежуточные операцииЗначение выражения
\( x \)\( y \)\( \overline{x} \)\( \overline{y} \)\( \overline{x}⋅y \)\( x⋅\overline{y} \)\( \overline{x}⋅y  + x⋅\overline{y} \)
11
1111
1111
11

Законы алгебры логики

Исключение констант\( 1 + A = 1 \)\( 0 ⋅ A = 0 \)\( 0 + A = A \)\( 1 ⋅ A = A \)
Идемпотентность\( A + A = A \)\( A ⋅ A = A \)
Закон исключения третьего\( A + \overline{A} = 1 \)
Закон непротиворечивости\( A ⋅ \overline{A} = 0 \)
Закон отрицания\( \overline{\overline{A}} = A \)
Закон коммутативности\( A + B = B + A \)\( A ⋅ B = B ⋅ A \)
Закон ассоциативности\( A + B + C = A + (B + C)\)\( A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C)\)
Закон дистрибутивности\( A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C \)\( A + (B ⋅ C) = (A + B) ⋅ (A + C) \)
Правило де Моргана\( \overline{(A + B)} = \overline{A} ⋅ \overline{B}\)\( \overline{(A ⋅ B)} = \overline{A} + \overline{B}\)
Закон поглощения\( A + A ⋅ B = A\)\( A ⋅ (A + B) = A\)
Закон склеивания\( A ⋅ B + \overline{A} ⋅ B = B \)\( (A + B) ⋅ (\overline{A} + B) = B \)

Законы алгебры можно доказать составив таблицу истинности.

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

  • Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
  • Тригонометричкая форма — запись вида , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
  • Показательная форма — запись вида , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

Решение:

  • Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(12 + 12) = √2
  • Найдём аргумент числа: φ = arctan(
    1
    1
    ) =
    π
    4
    = 45°
  • Запишем результат в тригонометрической форме:
  • Запишем результат в показательной форме:

Построение формулы логической функции по таблице истинности

Строится формула следующим образом:

  • В таблице истинности выделяются строки, в которых значение функции истинно.
  • Для каждой такой строки таблицы записывается конъюнкция всех переменных следующим образом: если значение переменной истинно, то она записывется в прямом виде, а если ложно, то — с инверсией.
  • Все, таким образом полученные, конъюнкции объединяются дизъюнкцией

В форме записи выражения логической функции, полученной таким образом,  не содержатся отрицания неэлементарных формул и присутствуют только основные логические операции (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция). Такая форма логической функции называется дизъюнктивной нормальной формой

Если все конъюнкции в выражении состоят из одного и того же набора переменных, каждый из которых входит в конъюнкцию один раз, то такая форма называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой.

Задача: Дана полная таблица истинности некоторой функции. Построить формулу функции по этой таблице.

\( x \)\( y \)\( z \)\( F \)
1
11
11
11
111
11
1111

 1. Удаляем строки со значением функции равным 0

\( x \)\( y \)\( z \)\( F \)
11
11
111
1111

2. Составляем конъюнкции для каждой строки

\( x \)\( y \)\( z \)\( F \)Конъюнкция
11\( \overline{x} ⋅ y ⋅ \overline{z} \)
11\( x ⋅ \overline{y} ⋅ \overline{z} \)
111\( x ⋅ \overline{y} ⋅ z \)
1111\( x ⋅ y ⋅ z \)

3. Объединяем все конъюнкции дизъюнкцией:

\( F(x,y,z) = \overline{x} ⋅ y ⋅ \overline{z} + x ⋅ \overline{y} ⋅ \overline{z} + x ⋅ \overline{y} ⋅ z + x ⋅ y ⋅ z \)

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

  • сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
  • умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
  • деление:
    a + bi
    c + di
    =
    (a + bi)(c — di)
    c2 + d2
    =
    (ac + bd)
    c2 + d2
    +
    (bc — ad)
    c2 + d2
    i

Примеры

Найти сумму чисел и :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: + =

Найти разность чисел и :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: — =

Найти произведение чисел и :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: * =

Найти отношение чисел и :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: / =

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий