Как решать уравнения с модулем: основные правила

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организацииМуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммыОтчетыпо упоминаниямДокументная базаЦенные бумагиПоложенияФинансовые документыПостановленияРубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датамРегламентыТерминыНаучная терминологияФинансоваяЭкономическаяВремяДаты2015 год2016 годДокументы в финансовой сферев инвестиционной

Метод интервалов в задачах с модулем

Метод интервалов – один из лучших способов найти ответ в задачах с модулем, особенно если в выражении их несколько.

Для использования метода нужно совершить следующие действия:

1. Приравнять каждое выражение к нулю.
2. Найти значения переменных.
3. Нанести на числовую прямую точки, полученные в пункте 2.
4. Определить на промежутках знак выражений (отрицательное или положительное значение) и нарисовать символ – или + соответственно. Проще всего определить знак с помощью метода подстановки (подставив любое значение из промежутка).
5. Решить неравенства с полученными знаками.

Пример 1. Решить методом интервалов.

Решение:

Результатом будет сумма всех подходящих интервалов.

Бизнес и финансы

БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумагиУправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги — контрольЦенные бумаги — оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудитМеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетикаАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Решение неравенств с модулем

Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.

Уравнения вида |x| = a

Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: |x| + 2 = 4.

Решение.

Такие уравнения решаются так же, как и равенства без абсолютных значений. Это означает, что, перемещая неизвестные влево, а константы – вправо, выражение не меняется.

После перемещения константы вправо получено: |x| = 2.

Поскольку неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2.

Ответ: 2 и −2.

Пример 2 (алгебра 7 класс). Решить неравенство |x + 2| ≥ 1.

Решение.

Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого выражение приравнивается к . Получено: x = –2.

Это означает, что –2 – поворотная точка.

Далее определяется знак на интервалах: на промежутке  величина будет отрицательной, а на интервале  будет положительной.

Разделим интервал на 2 части:

1. для x + 2 ≥ 0

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал [−1; + ∞).

1. для х + 2 < 0

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞; –3].

Окончательное решение – объединение ответов отдельных частей:

x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

Ответ: x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

Уравнения вида |x| = |y|

Пример 1 (алгебра 8 класс). Решить уравнение с двумя модулями: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Решение:

Ответ: x₁ = 3; x₂ = − 1.

Пример 2 (алгебра 8 класс). Решить неравенство:

Решение:

Уравнения вида |x| = y

Пример 1 (алгебра 10 класс). Найти x:

Решение:

Очень важно провести проверку правой части, иначе можно написать в ответ ошибочные корни. Из системы видно, что  не лежит в промежутке

Ответ: x = 0.

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение $\left| f\left( x \right) \right|=a$, причём $a\ge 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:

\

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого

\

Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:

\

Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.

Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:

\

Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:

\

Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Основная формула

Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?

Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:

\

Итак, модуль$x$ равен 3. Чему может быть равен $x$? Ну, судя по определению, нас вполне устроит $x=3$. Действительно:

\

А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Например, $x=-3$ — для него тоже $\left| -3 \right|=3$, т.е. требуемое равенство выполняется.

Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? А вот обломитесь: больше чисел нет. Уравнение $\left| x \right|=3$ имеет лишь два корня: $x=3$ и $x=-3$.

Теперь немного усложним задачу. Пусть вместо переменной $x$ под знаком модуля тусуется функция $f\left( x \right)$, а справа вместо тройки поставим произвольное число $a$. Получим уравнение:

\

Ну и как такое решать? Напомню: $f\left( x \right)$ — произвольная функция, $a$ — любое число. Т.е. вообще любое! Например:

\

или:

\

Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет

Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.

А вот с первым уравнением всё веселее. Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда$\left| 2x+1 \right|=2x+1$, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда $\left| 2x+1 \right|=-\left( 2x+1 \right)=-2x-1$. В первом случае наше уравнение перепишется так:

\

И внезапно получается, что подмодульное выражение $2x+1$ действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа:

\

Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:

\

Опа! Снова всё чётко: мы предположили, что $2x+1 \lt 0$, и в результате получили, что $2x+1=-5$ — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:

\

Итого мы вновь получили два ответа: $x=2$ и $x=3$. Да, объём вычислений оказался малость побольше, чем в совсем уж простом уравнении $\left| x \right|=3$, но принципиально ничего не изменилось. Так может, существует какой-то универсальный алгоритм?

Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.

Модуль комплексного числа

У нас есть комплексное число, которое выглядит следующим образом: z=x+i·y, где x и y представляют собой действительную и мнимую части комплексного числа z (и являются действительными), а i — мнимая единица и равна √-1

Чему равен модуль числа в данном случае? Это арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа:

Область определения: вся комплексная плоскость. Область значений: [0;+∞). Модуль как комплексная функция не дифференцируется ни в одной точке, так как условия Коши-Римана не выполнены.

Модуль рационального числа

Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.

Модуль рационального числа, примеры:

|-3,5| = 3,5

|0| = 0

Модуль вещественных чисел

• Область определения: (−∞;+∞).
• Область значений: [0;+∞).
• Функция чётная.
• Функция дифференцируется везде, кроме нуля. В точке x=0 функция претерпевает излом.

Модуль противоположного числа, нуля, отрицательного и положительного чисел

Исходя из свойств модуля, которые мы рассмотрели выше, получаем:

• Противоположные числа имеют равные модули, то есть |- а| = |а| = a.
  Если посмотреть это относительно координатной прямой, то две точки, у которых координаты — это противоположные числа, располагаются на одном расстоянии от начала отсчета. То есть модули противоположных чисел одинаковы.
• Модуль нуля равен нулю.
  |0| = 0, если a = 0
• Для положительного числа модуль равен самомý числу, а для отрицательного – противоположному числу.
  |а| = — а
  |−a| = a

Приходите заниматься нескучной математикой в детскую онлайн-школу Skysmart. Поможем ребенку разобраться в сложной теме, подготовиться к контрольной, подтянуть оценки и чувствовать себя увереннее на математике в школе.

Презентация на тему: » Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля» — Транскрипт:

2

По определению модуля, выражение y=|f(x)| равносильно системе f(x), если f(х) 0, Y= -f(x), если f(x)

3

Построить график функции у=|х-3|. Решение. Сначала построим график функции у=х-3: При х=о у=-3, при х=3 у=0(рис.1а). Часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, отобразим симметрично относительно оси Х, а другую — оставим без изменений. Полученный график — искомый(рис.1б).

4

Можно поступить иначе. График функции у=|х-3| представляет собой график функции у=|x|(рис.1в), перенесенный на 3 единицы вправо по оси Х(рис.1г).

5

Вообще, графики функций вида у=|x+a|+b можно получить из графика функции у=|х| переносом его на а единиц по оси Х вправо, если a 0, и на b единиц по оси У вверх, если b>0, или вниз, если b

6

Потроить график функции у=|х+5|-2 Решение.График функции у=|х+5|-2 можно получить из графика функции у=|х| путем переноса его на 5 единиц влево по оси Х и на 2 единицы вниз по оси У(рис.2).

7

По определению модуля, выражение y=f(|x|) равносильно системе f(x), если х0, у= f(-x), если х

8

Построить график функции у=х 2 -2|х|-3. Решение. По свойству модуля, х 2 =|х| 2, значит у=х 2 -2|х|-3 можно представить в виде у=|х| 2 -2|х|-3. Тогда для того чтобы построить график у=х 2 -2|х|-3 нужно построить график функции у=х 2 -2х-3: х 0 =-b/2a=-(-2)/2=1, y 0 =y(1)=1-2- 3=-4, ось параболы х=1, её вершина имеет координаты (1;-4), при у=0 х=3 или х=-1, при х=0 у=-3(рис.3а). Теперь оставим без изменений часть графика, расположенную в правой полуплоскости, и отобразим её симметрично относительно оси У(другую часть графика отбросим)(рис.3б).

9

Для построения графика функций такого вида нужно найти нули каждой функции под знаком модуля и нанести их на координатную прямую. На каждом из полученных промежутков необходимо раскрыть модули по определению, т.е. в зависимости от знака функции под модулем на данном промежутке. Затем нужно построить каждую из полученных функций у на их области определения; полученный график — искомый.

10

Построить график функции y=|x-1|-|х+3|. Решение. Найдем нули функций под модулем: f(x)=x- 1=0, если х=1; g(x)=х+3, если х=-3. Нанесём их на координатную прямую, они разобьют ее на три промежутка(рис.4а). На каждом из них раскроем модули, получим: 1-х+х+3, если х

11

Для построения графика такой функции необходимо сначала построить график функции внутреннего модуля(у=|f(x)|), потом преобразовать его в график у=||f(x)|+a|, затем — в график у=|||f(x)|+a|+b|, т.е. последовательно раскрывать модули, начиная с внутреннего.

12

Построить график функции у=||x-1|-2|. Решение. Построение графика проведем в три шага: 1.Построим график функции у=|x-1|. Его можно получить из графика функции у=|x| параллельным переносом по оси х на 1 единицу вправо(рис.5а). 2.Построим график функции у=|x-1|-2(рис.5б). 3.Построим график функции у=||x-1|- 2|(рис.5в).

13

5.1.Если g(X)=a, то у=а|f(x)|. Тогда график функции у=а|f(x)| можно получить из графика функции у=|f(x)| его сжатием в а раз к оси у, если а>1; его растяжением в 1/а раз к оси у, если 1

14

Построить график функции у=-2|x+1| Решение. Построение проведем в 3 шага: 1.Сначала построим график функции у=|x+1|(рис.6а). 2.Построим график функции у=2|x+1| — сжатие графика у=|x+1| в 2 раза к оси у(рис.6б). 3.Построим график функции у=-2|x+1| — симметрия предыдущего графика относительно оси х(рис.6в).

15

5.2.Если g(x) a, то находим нули функции под модулем и наносим их на координатную прямую. Раскрываем модуль на получившихся промежутках по определению и перемножаем функции.

16

Построить график функции у=|х|(х+2). Решение. Нуль функции f(x)=|х| х=0 делит координатную прямую на два промежутка — (- ;0) и[0;+ ); на каждом из них раскроем модуль: х 2 +2x, если х 0, У= -(х 2 +2х), если х

17

По определению модуля, выражение |у|=f(x) равносильно системе y, если y 0, f(x)= -y, если у

18

Построить график функции |у|=х Решение.Сначала построим график у=х 2 -1(рис.8а). Часть графика, расположенную выше оси Х, без изменений и отобразим её симметрично относительно оси х(другую часть графика уберём).(рис.8б)

19

Для построения графиков функций такого вида нужно построить график функции y=f(x) и применить операцию модуль сначала для правой части(построить графики функций у=f(|x|) или у=|f(x)| соответственно), а потом для левой (применить операцию модуль, как описано в 6 пункте.

20

Дан график функции y=f(x)(рис.9а). Построить графики функций |y|=f(|x|) и |y|=|f(x)|. Решение.Построе ние |y|=f(|x|): сначала построим график y=f(|x|)(рис.9б), потом график функции |y|=f(|x|)(рис.9в).

21

Решение. Построение |y|=|f(x)|: сначала построим график y=|f(x)|(рис.9г), потом |y|=|f(x)|(рис.9д).

Презентация 10 класса по предмету «Математика» на тему: «Графики функций с модулями. Проект: Угарина Сергея, ученика 10п класса.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1

Графики функций с модулями. Проект: Угарина Сергея, ученика 10п класса.

2

Цель работы: Научится строить графики функций с модулями. Научится строить графики функций с модулями. Хорошая подготовка к ЕГЭ. Хорошая подготовка к ЕГЭ.

3

1 ФУНКЦИЯ С МОДУЛЕМ Y=lXl Y=lXl Строим график функции у = x Строим график функции у = x Из-за модуля положительная часть графика отразится вдоль оси У. Из-за модуля положительная часть графика отразится вдоль оси У.x12y12

4

2 функция с модулем. У=l10х+4l У=l10х+4l Строим график функции у=10х+4 Строим график функции у=10х+4 Подставляем модуль и функция станет положительной во всей области определения. Положительная часть первой функции отразится от х=-0,4 Подставляем модуль и функция станет положительной во всей области определения. Положительная часть первой функции отразится от х=-0,4х0у4-6

5

3 функция с модулем У=lx²-4l У=lx²-4l Строим график функции у= х²-4 Строим график функции у= х²-4 Это квадратичная функция, графиком является парабола. Чтобы построить параболу надо найти как можно больше точек. Это квадратичная функция, графиком является парабола. Чтобы построить параболу надо найти как можно больше точек. Сейчас строим график функции у=lх²-4l, тогда отрицательная сторона графика функции у=х²-4 отразится по оси Х. Областью определения будут все числа, функция будет равняться нулю в точках х = ±2. х12-2у-40-30

6

4 функция с модулем У=2х²-5lхl-7 У=2х²-5lхl-7 Строим гр.функции у=2х²-5х-7, приравняем нулю и получим два корня х=3,5 и х=-1 Строим гр.функции у=2х²-5х-7, приравняем нулю и получим два корня х=3,5 и х=-1 Найдём вершину функции. В точке х=1,5 у=-10 Найдём вершину функции. В точке х=1,5 у=-10 Строим график функции у=2х²-5lхl-7. Строим график функции у=2х²-5lхl-7.

7

5 функция с модулем У=l2х²-5х-7l Строим график функции у=2х²-5х-7 Всё также,как и в предыдущем слайде. Потом строим график функции у=l2х²-5х-7l Функция станет только положительным. Отрицательная сторона первой функции отразится по оси Х

8

6 функция с модулем У=l2х²-5lхl-7l – сложная функция. Строим сперва график функции у=2х²- 5lхl-7 как в 4-ом слайде. Потом всю эту функцию берём под модуль. Функция у=l2х²-5lхl-7l будет положительным на всей области определения. Функция будет равняться нулю в точках х=±3,5 У=l2х²-5lхl-7l – сложная функция. Строим сперва график функции у=2х²- 5lхl-7 как в 4-ом слайде. Потом всю эту функцию берём под модуль. Функция у=l2х²-5lхl-7l будет положительным на всей области определения. Функция будет равняться нулю в точках х=±3,5

9

7 функция с модулем У=lх²+хl У=lх²+хl Строим гр.ф у=х²+х Строим гр.ф у=х²+х Эта квадратичная функция, графиком является парабола. Чтобы построить параболу надо как можно больше точек. Эта квадратичная функция, графиком является парабола. Чтобы построить параболу надо как можно больше точек. Строим гр.ф у=lх²+хl Отрицательная сторона отразится в положительную сторону по оси Х. Строим гр.ф у=lх²+хl Отрицательная сторона отразится в положительную сторону по оси Х.х10-2у2002

10

8 функция с модулем У=lх³+х²-lхl+1l – сложная функция. У=lх³+х²-lхl+1l – сложная функция. Строи график функции у=х³+х²-х+1. Это кубическая функция, графиком является гипербола. Чтобы построить гиперболу надо найти как можно больше точек. Потом строим гр.ф. у=х³+х²-lхl+1 Из- за модуль х, первая функция от х=0 понижется резко. Потом строим гр.ф. у=lх³+х²-lхl+1l Строи график функции у=х³+х²-х+1. Это кубическая функция, графиком является гипербола. Чтобы построить гиперболу надо найти как можно больше точек. Потом строим гр.ф. у=х³+х²-lхl+1 Из- за модуль х, первая функция от х=0 понижется резко. Потом строим гр.ф. у=lх³+х²-lхl+1lх012-2у12211

11

Графики функций с модулями очень много встречаются на Е.Г.Э. В средней школе графики функций с модулями обучают в 10, 11 классах. Графики функций с модулями очень много встречаются на Е.Г.Э. В средней школе графики функций с модулями обучают в 10, 11 классах.

12

Вывод:Графики функций надо обязательно уметь строить, чтобы не было проблем с такими функциями на экзамене. Вывод:Графики функций надо обязательно уметь строить, чтобы не было проблем с такими функциями на экзамене.

Случай переменной правой части

А теперь рассмотрим вот такое уравнение:

\

Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.

Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».

Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$ :

\

Применительно к нашему уравнению получим:

\

Ну, с требованием $2x\ge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.

Поэтому решим-ка само уравнение:

\

Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2x\ge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x={4}/{3}\;$ и $x=0$. Вот и всё решение.:)

Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:

\

Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:

\

И решается оно точно так же:

\

С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:

\

Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:

\

Выносим общий множитель ${{x}^{2}}$ за скобку и получаем очень простое уравнение:

\

\

Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:

\

Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:

\

\

Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x={2}/{3}\;$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:

\

Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:

\

Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:

\

Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.