Шпаргалки по математике, алгебре и геометрии

Механика

Кинематика

Равноускоренное движение:  
Ускорение:`a=(v-v_0)/t` 
Скорость:`v=v_0+at` 
Путь, пройденный телом:`S=v_0t+(at^2)/2`Три варианта формулы
 `S=(v^2-v_0^2)/(2a)` 
 `S=(v+v_0)/2t` 
`v(t)=S'(t)`  
`a(t)=v'(t)=S»(t)`  
Тело брошено под углом к горизонту:  
Горизонтальная проекция скорости:`v_x=v_0*cosalpha=const`Горизонтальная скорость постоянна
Вертикальная проекция скорости:`v_y=v_0*sinalpha`Вертикальная скорость меняется с ускорением `g`
Движение по окружности: 
Центростремительное ускорение:`a_(цс)=v^2/R=omega^2R`
Угловая скорость:`omega=(Deltavarphi)/(Deltat)=(2pi)/T=2pinu`
Связь линейной и угловой скоростей:`v=omegaR`

Динамика

Плотность:`rho=m/V` 
Второй закон Ньютона:`vec F=mvec a`где `vec F` — равнодействующая всех приложенных сил
Гравитационное притяжение:`F=G(m_1m_2)/R^2` 
1-я космическая скорость:`v_I=sqrt(gR)=sqrt((GM)/R)` 
2-я космическая скорость:`v_(II)=sqrt(2)*v_I` 
Закон Гука:`F=-kx` 
Сила трения:`F_(тр)=muN` 
Давление:`p=F/S` 

Статика

Момент силы:`M=F*l` 
Условие равновесия:`{(M_1+M_2+…=0),(vec F_1+vec F_2+…=0):}`Моменты «по часовой стрелке» берём со знаком плюс, моменты «против часовой» берём с минусом
Правило рычага:`F_1*l_1=F_2*l_2`это частный случай условия равновесия
Давление жидкости:`p=rhogh` 
Сила Архимеда:`F_A=rho_жgV_т` 

Импульс и энергия

Импульс:`vec p=mvec v`
Изменение импульса:`Deltavec p=vec FDeltat`
Работа силы:`A=F*l*cosalpha`
Мощность:`P=A/t`
КПД:`eta=A_(полезная)/A_(затраченная)`
Кинетическая энергия:`E_к=(mv^2)/2`
Потенциальная энергия тяжести:`E_п=mgh`
Потенциальная энергия пружины:`E_п=(kx^2)/2`

Механические колебания и волны

`x(t)=Asin(omegat+varphi_0)` 
`v(t)=x'(t)=Aomegacos(omegat+varphi_0)` 
`a(t)=v'(t)=-Aomega^2sin(omegat+varphi_0)` 
Период колебаний:`T=1/nu=(2pi)/omega`
Период математического маятника:`T=2pisqrt(l/g)`
Период пружинного маятника:`T=2pisqrt(m/k)`
Скорость волны:`v=lambdanu`

Разбор задач

Физические законы — задача 7

Возьмём задачу на знание закона сохранения энергии: «В изолированной системе энергия может только превращаться из одной формы в другую, но её количество остается постоянным».

Как решать

Ответ: −204 Дж. В данной задаче ответ получился отрицательным. Когда сила действия и сила сопротивления направлены в разные стороны, работа силы сопротивления всегда отрицательна и обозначается знаком минус. Если вы не поставите знак минус, ответ не будет засчитан.

Физические явления — задача 6

Чтобы решить задачу, нужно, глядя на рисунок, установить истинность или ложность всех пяти высказываний.

Как решать

Ответ: 2, 4.

На что обратить внимание. В задачах, где нужно выбрать два варианта из пяти, всегда проверяйте все пять вариантов

Тогда вы будете точно уверены, что нашли два нужных варианта ответа.

Методы научного познания — задачи 18 и 19

Нужно проанализировать результаты экспериментов, выраженные в виде таблицы или графика, и соотнести полученные результаты с приведенными в задаче утверждениями.

Как решать

Мы знаем, что при подъеме в гору атмосферное давление падает, а при погружении в воду растёт. Однако в данном случае конструкция батисферы герметична и внутри неё поддерживается постоянное давление. Следовательно, верен только вариант 1: чтобы доказать, что температура кипения воды зависит от атмосферного давления, нужно провести только опыт А.

Ответ: 1.

Как решать

️ Первое утверждение верно. Дно сосудов изменило форму под воздействием жидкости, значит, мы можем сделать такой вывод из данного эксперимента.

️ Второе утверждение верно. Действительно, разные жидкости заставляют дно прогибаться сильнее или слабее.

Третье утверждение неверно. Чтобы его проверить, нужно взять сосуды разной формы, а у нас сосуды одинаковые.

Четвертое утверждение неверно. Для его проверки нужна разная высота столба жидкости, чего у нас нет.

Пятое утверждение неверно. Это закон Паскаля, а он подтверждается совершенно другими опытами.

Ответ: 1, 2.

На что обратить внимание. В данной задаче нужно найти не правильные утверждения, а именно те, которые прямо следуют из приведённого в задаче эксперимента

При этом верными с точки зрения физики могут быть все пять утверждений, но только два вывода можно сделать на основе представленных наблюдений, без привлечения дополнительных данных.

Эксперимент — задача 23

Как решать

1. Рисуем схему электрической сети.

Ответ: 5 Ом.

На что обратить внимание. Подсказки о ходе решения содержатся в самом задании

Ответ: 5 Ом.

Критерии оценивания. Чтобы получить 4 балла за задачу 23, нужно чётко и ясно расписать все четыре пункта.

Вы получите только 3 балла → если всё верно, но

  • Неправильно вычислили ответ
  • Неправильно записали единицу измерения
  • Схему нарисовали с ошибкой или не нарисовали вообще
  • Не привели формулу для расчёта искомой величины

Вы получите только 2 балла → если верно провели измерения, но

  • Не привели формулы для расчёта искомой величины и не получили ответ
  • Не дали ответа и схемы экспериментальной установки
  • Не нарисовали схему и не привели формулу для расчёта искомой величины

Вы получите только 1 балл → если

  • Привели правильные значения прямых измерений
  • Привели правильное значение только одного прямого измерения и формулу для расчёта
  • Привели правильное значение только одного прямого измерения и верно нарисовали схему

Понимание текстов физического содержания — задачи 20 и 22

Нужно правильно понять смысл приведенных в тексте терминов и ответить на вопросы по содержанию текста. При этом нужно уметь сопоставлять информацию из разных частей текста и применять её в других ситуациях, а также переводить информацию из одной знаковой системы в другую.

Обычно для решения этих задач достаточно уметь читать и понимать текст, дополнительные знания могут вообще не потребоваться.

Как решать

В утверждении А говорится о любом теле, а в тексте — о горных породах, значит, утверждение А неверно.

️ «Маленькие постоянные магниты» в утверждении Б соответствуют «миниатюрным магнитным стрелкам» в тексте, значит, утверждение Б верно.

Ответ: 2.

Как решать

В тексте сказано, что 700 тысяч лет поле не менялось. При этом в тексте нет никакой информации о периодичности, с которой менялось поле.

Вывод: нет, такой вывод сделать нельзя.

Ответ: утверждение неверно.

Тепловые явления

Молекулярная физика

Средняя кинетическая энергия молекул`bar E_к=3/2kT`Здесь и далее рассматриваем только идеальный одноатомный газ
Давление газа:`p=nkT` 
Уравнение Менделеева-Клайперона:`pV=nuRT` 
Количество вещества в молях:`nu=m/M=N/N_A`M — молярная масса, берём её из таблицы Менделеева, не забываем переводить в кг/моль
Внутренняя энергия:`U=3/2nuRT` 
Закон Дальтона для смеси:`p=p_1+p_2+…` 
Относительная влажность:`varphi=p_(парц)/p_(насыщ)=rho_(парц)/rho_(насыщ)`См. также таблицу давления и плотности насыщенного водяного пара
Уравнение теплобаланса:`Q_1+Q_2+Q_3+…=0``Q>0` в процессах, где теплота выделяется, и `Q

Термодинамика

`Q=cmDeltaT`где `с` — удельная теплоёмкость
`Q=lambdam`где `lambda` — удельная теплота плавления
`Q=rm`где `r` — удельная теплота парообразования
`Q=qm`где `q` — удельная теплота сгорания
Первое начало термодинамики:`Q=DeltaU+A` 
Работа газа в любом термодинамическом процессе — это площадь под pV-графиком`A=int_1^2pdV`(формулу запоминать не обязательно)
Работа в изобарном процессе:`A=p*DeltaV` 
Работа газа всегда связана с изменением объёма:`Vuarr rArr A>0«Vdarr rArr A`V=const rArr A=0` 
Работа внешних сил над газом:`A_(внеш.сил)=-A_(газа)` 
КПД:`eta=A_(цикл)/Q_н=(Q_н-Q_х)/Q_н` 
Машина Карно:`eta=(T_н-T_х)/T_н` 

Советы для подготовки к ОГЭ по математике

Для начала рекомендуем ознакомиться с демонстрационной версией экзамена на сайте ФИПИ. После этого можно приступать непосредственно к процессу подготовки.

Что нужно сделать:

  • Решить несколько тестовых вариантов на сайте Решу ОГЭ. Это позволит выявить темы, на изучение которых следует сделать упор.
  • Запастись специальной литературой. Например, можно скачать издание «ОГЭ. Математика. Новый полный справочник. (2019, 448с.)» Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
  • Последовательно изучить наиболее проблемные темы.
  • Посмотреть видеоуроки для подготовки к экзамену. Чем больше разных форматов получения информации, тем лучше усваивается материал.

Многие специалисты советуют вести отдельную тетрадь с формулами. Это позволяет лучше запоминать важную информацию. Ниже представлены формулы, которые обязательно надо знать:

Во время экзамена также могут потребоваться:

  • формулы сокращенного умножения и вычисления n-го члена арифметической или геометрической прогрессии;
  • таблица квадратов двузначных чисел;
  • знания о свойствах окружности, треугольника, трапеции и параллелограмма.

Чтобы получить отличную оценку за ОГЭ по математике, необходимо владеть большим количеством математических навыков:

  • Проводить вычисления.
  • Уметь преобразовывать алгебраические выражения.
  • Справляться с решением уравнений, неравенств и их систем.
  • Строить и читать графики.
  • Иметь навыки выполнения действий с векторами, координатами и геометрическими фигурами.
  • Уметь описывать реальные ситуации геометрическим языком.
  • Владеть навыком логических рассуждений с приведением доказательств и нахождением неверных заключений.
  • Математически грамотно и обоснованно записывать решения в заданиях, где требуется развернутый ответ.

Если нужно сдать экзамен хоть на какую-нибудь оценку, базовых знаний школьного курса хватит. А вот для получения высокого балла и попадания в профильный 10-й класс уже придется потратить больше времени на освоение материала.

Одно дело – владеть знаниями, другое – уметь применять их в стрессовых условиях экзамена

Важно довести решение большинства задач до автоматизма. Для этого нужно много практиковаться, используя, к примеру, материалы специализированных интернет-ресурсов, и регулярно проверять, как усвоился материал после изучения каждой темы

Следует помнить и о том, что спустя два года после ОГЭ по математике выпускники 11-го класса сдают по этой дисциплине ЕГЭ, который значительно сложнее. Хорошая подготовка к ОГЭ позволит более уверенно чувствовать себя в 10-11-х классах.

#Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению…

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Как готовиться к ОГЭ самостоятельно

Составить план подготовки

Лучше всего заниматься в определённой последовательности. Я рекомендую повторять/изучать темы в следующем порядке:

Повторять программу девятого класса

Возьмите учебник 9-го класса (авторы Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова) и пройдитесь ещё раз по всем темам. Тщательная проработка программы 9-го класса — это 80% успеха на ОГЭ. При этом вы обязательно будете применять и те знания, которые получили в 5–8-м классах. Если с этим возникнут проблемы, вы сможете вернуться и повторить именно ту тему, в которой плаваете.

Решать как можно больше задач

Для успешной сдачи экзамена важно отработать решение задач. Их можно брать из учебника, пособий по подготовке к ОГЭ и демоверсий прошлых лет

Квантовая физика

Корпускулярно-волновой дуализм:

Энергия фотона:`Е=hnu=(hc)/lambda`
Импульс фотона:`p=h/lambda=(hnu)/c`
Уравнение фотоэффекта:`hnu=A_(вых)+(mv^2)/2`
Запирающее напряжение:`eU_(зап)=(mv^2)/2`

Постулаты Бора:

Уровнии энергии атома водорода:`E_n=(-13,6 эВ)/n^2`
Излучение и поглощение фотона при переходе между уровнями:`hnu_(mn)=|E_n-E_m|`

Ядерная физика:

Дефект массы ядра:`Deltam=Z*m_p+(A-Z)*m_n-m_(ядра)` 
`alpha`-распад:`color(white)(*)_Z^AX->_(Z-2)^(A-4)Y+_2^4He`A — массовое числоZ — зарядовое число
`beta`-распад электронный:`color(white)(*)_Z^AX->_(Z+1)^AY+_(-1)^0e`плюс к этому образуется антинейтрино
`beta`-распад позитронный:`color(white)(*)_Z^AX->_(Z-1)^AY+_(+1)^0e`плюс к этому образуется нейтрино
Закон радиоактивного распада:`N(t)=N_0*2^(-t/T)` 
См. также таблицу Менделеева с комментариями

Это список формул для ОГЭ (9 класс). Вы можете посмотреть более полный список для ЕГЭ (11 класс)

Формулы для ОГЭ-2021 по математике

Формулы сокращённого умножения

`(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2` 
`(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2` 
`a^2 − b^2=(a + b)(a − b)` 
  
`a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)` 
`a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)` 
  
`(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`Эти две формулы заучивать не обязательно, но желательно
`(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3`

Прогрессии

Геометрическая прогрессия:

`b_n=b_(n-1)*q`
`b_n=b_1*q^(n-1)`
`S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)`
Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)`

Вероятность

Вероятность события A:`P(A)=m/n`m — число благоприятных событийn — общее число событий
   
События происходят A и B происходят одновременно`A*B` 
Независимые события:`P(A*B)=P(A)*P(B)`Когда вероятность одного события (А) не зависит от другого события (B)
Зависимые события:`P(A*B)=P(A)*P(B|A)``P(B|A)` — вероятность события B при условии, что событие A наступило
   
Происходит или событие A, или B`A+B` 
Несовместные события:`P(A+B)=P(A)+P(B)`Когда невозможно наступление обоих событий одновременно, т.е. `P(A*B)=0`
Совместные события:`P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)`Когда оба события могут наступить одновременно

Свойства степеней

`a^0=1``a^1=a`
`a^(-1)=1/a``a^(-n)=1/a^n`
`a^(1/2)=sqrt(a)``a^(1/n)=root(n)(a)`
`a^m*a^n=a^(m+n)``a^m/a^n=a^(m-n)`
`(a*b)^n=a^n*b^n``(a/b)^n=a^n/b^n`
`(a^m)^n=a^(m*n)``a^(m/n)=root(n)(a^m)`

Геометрия

Планиметрия (2D)

Тригонометрия:`sinA=a/c`   `cosA=b/c` 
 `text(tg)A=sinA/cosA=a/b` 
Теорема косинусов:`c^2=a^2+b^2-2ab*cosC` 
Теорема синусов:`a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R`где R — радиус описанной окружности
Уравнение окружности:`(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2`где `(x_0;y_0)` — координаты центра окружности
Соотношение вписанного и центрального углов:`beta=alpha/2=(uualpha)/2` 
Описанная окружность, треугольник:`R=(abc)/(4S)`См. также теорему синусов. Центр лежит на пересечении срединных перпендикуляров.
Вписанная окружность, треугольник:`r=S/p`где p — полупериметр многоугольника. Центр лежит на пересечении биссектрис.
Описанная окружность, четырёхугольник:`alpha+gamma=beta+delta=180^circ` 
Вписанная окружность, четырёхугольник:`a+c=b+d` 
Свойство биссектрисы:`a/x=b/y` 
Теорема о пересекающихся хордах:`AM*BM=CM*DM`Эти теоремы необходимо уметь выводить
Теорема об угле между касательной и хордой:`alpha=1/2uuAB` 
Теорема о касательной и секущей:`CM^2=AM*BM` 
Теорема об отрезках касательных:`AB=AC` 

Площади фигур:

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий