Формулы сокращенного умножения. часть 1. основные формулы сокращенного умножения. их использование для упрощения вычислений

Введение в анализ

5.1. Функции. Общие свойства

Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.

Аналитическое представление функции:

в явном виде: ;

в неявном виде: ;

в параметрической форме: ;

разными формулами в области определения (a,c]: .

Четная функция: .

Нечетная функция: .

Периодическая функция: , где T – период функции, .

5.2. Основные элементарные функции

	Название	Формула	Частные случаи
1	Постоянная
2	Степенная функция		; ; ; ;
3	Показательная функция
4	Логарифмическая функция		;
5	Тригонометрические функции	; ; ; .
6	Обратные тригонометрические функции	; ; ;

Графики основных элементарных функций:

Парабола	Гипербола
График показательной функции	График логарифмической фунгкции
Синусоида и косинусоида

5.3. Теория пределов

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента , начиная с которого выполняется неравенство .

Обозначение: .

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число d , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначение:.

Формула для вычисления предела элементарной функции в точке , где : .

Бесконечно малая величина при есть функция такая, что .

Бесконечно большая величина при есть функция такая, что .

Первый замечательный предел: .

Следствия: ; ;

Второй замечательный предел: , где e=2,71828…

Следствия: ; ; ; .

Эквивалентные бесконечно малые величины при

x ~sinx ~ tgx ~ arcsinx ~ arctgx ~ ex-1~ ln(1+x).

Виды неопределенностей:

Символическое обозначение	Содержание неопределенности	Пределы компонент при x a
		a 1(x) 0 a 2(x) 0
		b 1(x) ¥ b 2(x) ¥
		a (x) 0 b (x) ¥
		b 1(x) ¥ b 2(x) ¥
		g (x) 1 b (x) ¥
		a 1(x) 0 a 2(x) 0
		a (x) 0 b (x) ¥

5.4. Непрерывность функции

Функция непрерывна в точке , где , если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.

Эквивалентные условия:

1. 1. ;
   2. , где ;
   3. ;
   4. .

Классификация точек разрыва:

разрыв I рода:

разрыв II рода: предел функции в точке не существует.

Колебания

Уравнение описывающее физические системы способные совершать гармонические колебания с циклической частотой ω:

Решение предыдущего уравнения является уравнением движения для гармонических колебаний и имеет вид:

Период колебаний вычисляется по формуле:

Частота колебаний:

Циклическая частота колебаний:

Зависимость скорости от времени при гармонических механических колебаниях выражается следующей формулой:

Максимальное значение скорости при гармонических механических колебаниях:

Зависимость ускорения от времени при гармонических механических колебаниях:

Максимальное значение ускорения при механических гармонических колебаниях:

Циклическая частота колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:

Период колебаний математического маятника:

Циклическая частота колебаний пружинного маятника:

Период колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение кинетической энергии при механических гармонических колебаниях задаётся формулой:

Максимальное значение потенциальной энергии при механических гармонических колебаниях пружинного маятника:

Взаимосвязь энергетических характеристик механического колебательного процесса:

Энергетические характеристики и их взаимосвязь при колебаниях в электрическом контуре:

Период гармонических колебаний в электрическом колебательном контуре определяется по формуле:

Циклическая частота колебаний в электрическом колебательном контуре:

Зависимость заряда на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре описывается законом:

Зависимость электрического тока протекающего через катушку индуктивности от времени при колебаниях в электрическом контуре:

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре:

Максимальное значение силы тока при гармонических колебаниях в электрическом контуре может быть рассчитано по формуле:

Максимальное значение напряжения на конденсаторе при гармонических колебаниях в электрическом контуре:

Переменный ток характеризуется действующими значениями силы тока и напряжения, которые связаны с амплитудными значениями соответствующих величин следующим образом. Действующее значение силы тока:

Действующее значение напряжения:

Мощность в цепи переменного тока:

Трансформатор

Если напряжение на входе в трансформатор равно U₁, а на выходе U₂, при этом число витков в первичной обмотке равно n₁, а во вторичной n₂, то выполняется следующее соотношение:

Коэффициент трансформации вычисляется по формуле:

Если трансформатор идеальный, то выполняется следующее соотношение (мощности на входе и выходе равны):

В неидеальном трансформаторе вводится понятие КПД:

Волны

Длина волны может быть рассчитана по формуле:

Разность фаз колебаний двух точек волны, расстояние между которыми l:

Скорость электромагнитной волны (в т.ч. света) в некоторой среде:

Скорость электромагнитной волны (в т.ч. света) в вакууме постоянна и равна с = 3∙108 м/с, она также может быть вычислена по формуле:

Скорости электромагнитной волны (в т.ч. света) в среде и в вакууме также связаны между собой формулой:

При этом показатель преломления некоторого вещества можно рассчитать используя формулу:

Как обозначается диаметр?

Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел. Почему они так называются?

• Рациональное число – такое число, которое можно представить в виде несократимой дроби, у которой в числителе и знаменателе целые числа.Например: 140/91
• А конечной или бесконечной бывает десятичная запись числа. Десятияная запись любого рационального числа либо конечная, либо периодическая (содержащая циклически повторяющиеся комбинации цифр).
• Иррациональное число – не являющееся рациональным. Его невозможно представить в виде несократимой дроби.
• например, иррациональным является √2 – длина диагонали квадрата, сторона которого равна 1.
• Чтобы доказать, что число иррационально, делают предположение, что оно рационально и может быть представлено в виде несократимой дроби p/q. Используя преобразования, доказывают, что p и q не взаимно простые, значит предположение о рациональности дроби было неверно.
• Название “рациональный” произошло от латинского слова “ratio” – , одним из значений которого является соотношение. Дробь это как раз отношение числителя к знаменателю, соотношение.А “иррациональное” не является переводом слова, но, очевидно, онбозначает “не рациональное”.

1 0 · Хороший ответ

Что такое основные единицы СИ?

СИ – это международная система единиц физических величин. Она принята большинством стран мира и используется в технических науках даже в тех странах, где выбраны другие единицы измерения.

Выделяют 7 независимых единиц СИ. Из них ни одна единица не может быть выражена через другие.

1) единица длины – метр

2) единица массы – килограмм

3) единица времени – секунда

4) сила тока – ампер

5) температура – кельвин

6) сила света – кандела

7) количество вещества – моль

Все остальные единицы СИ являются производными и могут быть получены из основных единиц СИ с помощью уравнений.

Источник статьи: http://yandex.ru/q/question/hw.math/kak_oboznachaetsia_diametr_dd3db5ec/

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Главная диагональ куба:

Объем куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Объём призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

Основные формулы математики

Основными формулами математики считаются формулы быстрого умножения. Их не так много, поэтому лучше все заучить наизусть. Всего формул семь, каждая из них была выведена, для облегчения счета. Заучивают формулы в 4 этапа.

Первыми идут формулы суммы и разности квадратов. Формулу суммы мы уже знаем.

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Квадрат разности не сильно отличается.

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Знак минуса вполне логичен, и его достаточно просто запомнить.

Следующими запоминают куб суммы и куб разности. Они учатся быстрее, просто запоминаясь по аналогии.

$$(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3a*b^2+b^3$$

$$(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3a*b^2-b^3$$

Дальше идут формулы суммы и разности кубов, а так же разность квадратов. Разность квадратов записывается достаточно легко.

$a^2+b^2=(a+b)(a-b)$ – а вот формулы суммы квадратов нет. В начале курса 5 класса по математике ученики очень часто путаются формулы квадрата разности и разности квадратов. Попробуем научиться их различать.

Что такое разность квадратов? Это два числа в квадрате, из одного вычитается другое. А что такое квадрат разности? Из одного числа вычли другое, а результат возвели в квадрат. Достаточно один раз запомнить, а лучше понять, это объяснение и проблем с этими двумя формулами не будет никогда.

Следующими и последними идут формулы суммы и разности кубов. Они немного сложнее и для облегчения их запоминания придумали понятие неполного квадрата суммы и неполного квадрата разности.

Вспомним формулу квадрата суммы.

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Обратим внимание на вторую часть. $$a^2+2ab+b^2$$ – это и называется полным квадратом суммы

А неполным называется выражение:

$$a^2+2ab+b^2$$ – это и называется полным квадратом суммы. А неполным называется выражение:

$$a^2+ab+b^2$$. Это легко запомнить. По аналогии неполный квадрат разности: $a^2-ab+b^2$.

Теперь приведем формулы суммы и разности кубов.

$$a^3+b^3=(a+b)( a^2-ab+b^2)$$ – сумма кубов это произведение суммы чисел на неполный квадрат разности этих чисел.

$$a^3+b^3=(a-b)( a^2+ab+b^2)$$ – разность кубов это произведение разности чисел на квадрат суммы этих чисел.

Как показывает практика, последние две формулы проще запомнить в словесной форме. К тому же эти формулы часто встречаются при решении простых уравнений. Поэтому, дабы не бежать каждый раз в интернет – проще их запомнить.

Что мы узнали?

Мы дали определение понятию формулы, привели основные формулы математики и обозначили, что формулой можно пользоваться в обе стороны от знака равенства.

1. Вопрос 1 из 5

Начать тест(новая вкладка)

Все формулы за 7 класс

Учебники физики за 7 класс знакомят школьников с формулами, при помощи которых вычисляют:

• скорость равномерного движения;
• среднюю скорость неравномерного движения; 
• плотность вещества;
• силу тяжести; 
• равнодействующую сил, направленных в одну сторону;
• вес тела; 
• давление; 
• давление жидкости; 
• силу Архимеда. 

Скорость равномерного движения

Скорость равномерного прямолинейного движения — это постоянная скорость объекта при движении по прямой линии, которая будет одинакова в любой момент движения.

Рассчитывается она так:

\(V=\frac St\)

где \(V\) — искомая нами скорость объекта, \(S\) — путь, пройденный объектом, \(t\) — время, за которое был пройден путь.

Скорость измеряется в км/ч, когда речь идет о больших расстояниях, и м/с, когда о маленьких.

Средняя скорость неравномерного движения

Средняя скорость — это скорость, которую мог бы иметь объект, если бы преодолел этот же самый путь за это же самое время, но двигаясь равномерно.

Зависит от тех же параметров, что и скорость при равномерном движении: от \(S\) и \(t\). Чтобы рассчитать среднюю скорость движения нужно полный путь, пройденный объектом, разделить на все время движения:

\(V=\frac{S_1+S_2}{t_1+t_2}\)

где \(V\) — средняя скорость, \(S_1, S_2\) — участки пути, из которых состоит полный путь объекта, \(t_1\) — время, потраченное на преодоление первого участка пути, \(t_2\) — время, потраченное на преодоление второго участка пути.

Средняя скорость также измеряется в км/ч.

Плотность вещества

Плотность вещества — это физическая величина, которая показывает зависимость массы вещества от его объема.

Формула для определения плотности вещества:

\(p=\frac mV\)

где \(p\) — плотность, \(m\) — масса вещества, \(V\) — его объем.

Измеряется плотность в \(кг/м^3\).

Сила тяжести

Сила тяжести — эта та сила, с которой все объекты притягиваются к поверхности нашей планеты.

Определяется по формуле:

\(F=g\times m\)

где \(F\) — сила тяжести, \(m\) — масса объекта, а \(g\) — коэффициент силы тяжести, равный 9,8 м/с.

Измеряется сила тяжести в ньютонах.

Равнодействующая сил, направленных в одну сторону

Равнодействующая сила — это сила, которая воздействует на тело так же, как несколько других одновременно воздействующих на объект сил.

Если силы, воздействующие на объект, направлены по одной прямой и в одну сторону, равнодействующая этих сил будет направлена в эту же сторону, а ее модуль будет равен сумме модулей этих сил.

Исходя из трактовки этого понятия, следует, что:

\(R=F_1+F_2\)

где \(R\) — равнодействующая сил \( F_1\) и \(F_2\), действующих на тело.

Измеряется в ньютонах.

Вес тела

Вес — это сила, с которой объект воздействует на опору или подвес под ним вследствие притяжения к планете Земля.

Вес тела численно равен силе тяжести и вычисляется по той же самой формуле:

\(F=g\times m\)

Так же, как и сила тяжести, измеряется в ньютонах.

Давление

Давление — это физическая величина, характеризующая степень воздействия силы, действующей перпендикулярно поверхности на площадь этой поверхности.

\(P=\frac FS\)

где \(P\) — давление, \(F\) — сила, направленная перпендикулярно площади поверхности, \(S\) — площадь поверхности, на которую действует сила.

Давление измеряется в паскалях.

Давление жидкости

Давление в жидкости или газе зависит:

1. От уровня жидкости или газа в емкости. Это происходит из-за того, что верхние слои «давят» на нижние слои жидкости.
2. От плотности жидкости / газа. Чем больше плотность, тем больше давление.

В виде формулы эту зависимость записывают так:

\(P=p\times g\times h\)

где \(P\) — давление в жидкости, \(p\) — плотность жидкости, \(g\) — коэффициент силы тяжести, равный 9,8 м/с, \(h\) — высота (уровень) жидкости в емкости. 

Давление в жидкости измеряется в паскалях.

Согласно закону Паскаля, давление в жидкости и газах передается одинаково по всем направлениям.

Сила Архимеда

Архимедова сила — сила выталкивания, действующая на тело, которое погружено в жидкость или газ.

Эта сила всегда направлена вверх и равна по модулю весу жидкости, вытесненной телом. В уравнении зависимость выглядит так:

\(F_a=p\times g\times V\)

где \(F_a\) — сила Архимеда, \(p\) — плотность жидкости или газа, \(g\) — коэффициент силы тяжести, \(V\) — объем погруженного в жидкость объекта.

Сила Архимеда измеряется в ньютонах.  

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
3 × (7 + 8)

Решение:
3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 ×­ 8 = 21 + 24 = 45

Задание 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
5 × (6 + 8)

Решение:
5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70

Задание 3. Найдите значение выражения, используя порядок выполнения действий:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81

Задание 5. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1)

Решение:
16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Правила записи формул

При записи формул придерживаются следующих правил.

1. Внешние скобки в формуле можно опускать. Например, вместо %%(A \lor B)%% пишем %%A \lor B%%.

2. Как и в арифметике, в алгебре высказываний у каждой операции есть свой приоритет. Приоритеты логических знаков, расположенные в порядке убывания, следующие:

   $$
   \overline{ }, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow.
   $$

   Приоритеты логических операций можно изменить, используя скобки.

Каждый предшествующий знак является «сильнее» последующего. Поэтому вместо записи %%(A \land B) \lor C%% можно писать %%A \land B \lor C%%, вместо записи %%A \leftrightarrow (B \lor C)%% — %%A \leftrightarrow B \lor C%%.

3. Если в формуле %%X = A \land B \land C \land \ldots \land Z%% опущены скобки, то подрузамевается левосторонняя расстановка скобок и считается, что %%X = \bigg(\Big((A \land B) \land C\Big) \land \ldots\bigg)\land Z%%. Аналогично для подобных формул, имеющих знак %%\lor%%, %%\rightarrow%% или %%\leftrightarrow%%.

Примеры

Пользуясь правилами %%1-3%% восстановить скобки в формуле

$$
X = A \lor B \land C \leftrightarrow A \rightarrow B \rightarrow C
$$

По правилам %%1-3%% имеем %%X = \Bigg(\Big(A \lor (B \land C)\Big) \leftrightarrow \Big((A \rightarrow B) \rightarrow C\Big)\Bigg)%%.

Пользуясь правилами %%1-3%% опустить лишние скобки в формуле
$$
X = \Bigg((A \leftrightarrow B) \lor \Big((A \land B) \land C\Big) \rightarrow \Big((B \lor C) \land A\Big)\Bigg)
$$

Решение, над знаком равно будут указаны номера правил которые применяются.

$$
\begin{array}{ll}
X &= \Bigg((A \leftrightarrow B) \lor \Big((A \land B) \land C\Big) \rightarrow \Big((B \lor C) \land A\Big)\Bigg) \overset{1}{=}\\
&\overset{1}{=} (A \leftrightarrow B) \lor \Big((A \land B) \land C\Big) \rightarrow \Big((B \lor C) \land A\Big) \overset{3}{=}\\
&\overset{3}{=} (A \leftrightarrow B) \lor (A \land B \land C) \rightarrow \Big((B \lor C) \land A\Big) \overset{2}{=}\\
&\overset{2}{=} (A \leftrightarrow B) \lor A \land B \land C \rightarrow \Big((B \lor C) \land A\Big) \overset{2}{=}\\
&\overset{2}{=} (A \leftrightarrow B) \lor A \land B \land C \rightarrow (B \lor C) \land A.
\end{array}
$$

Тригонометрия

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Геометрия на плоскости (планиметрия)

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:

2 + 3 + 5

Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

10 = 10

Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)