Стереометрия, часть с

Примеры заданий ЕГЭ

Решение заданий ЕГЭ по математике.

Для самостоятельного решения:

1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 12625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12802 киловатт-часа. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь? Ответ дайте в рублях.

Задача с решением:

В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ = 5 корней из 3, SC = 13. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.Решение: 1. Поскольку SABC — правильная пирамида, то ABC — равносторонний треугольник, а остальные грани — равные между собой равнобедренные треугольники. То есть все стороны основания равны 5 sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.2. Пусть D — середина BC, E — середина AS, SH — высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, EP — высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.4. Поскольку пирамида правильная, точка H — это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH = 2 AD).5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(132-52) = 12.6. Треугольники AEP и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и AP = AH/2, и EP = SH/2.7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDP (нас как раз интересует угол EDP). EP = SH/2 = 6;DP = AD 2/3 = 5;Тангенс угла EDP = EP/DP = 6/5,Угол EDP = arctg(6/5) Ответ:     arctg(6/5)

А знаете ли вы, что?

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день. Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд. Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно. Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные. В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел. Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12. Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате. Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) — 3999 (MMMCMXCIX) — больше трех цифр подряд писать нельзя. Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую — два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Слитное, дефисное, раздельное написание слов

2. Правописание слов с приставками пол-, полу-

Слова с приставкой полу- всегда пишутся слитно. Например: полуботинки, полустанок. Правописание слов с приставкой пол-

1. Через дефис пишутся слова с приставкой пол-, если корень начинается с гласной, заглавной буквы или л. Например: пол-лимона, пол-Москвы, пол-яблока
2. В остальных случаях слова с приставкой пол- пишутся слитно. Например: полмоста, полвагона

3. Правописание наречий

Через дефис пишутся следующие наречия: а) образованные повторением одного и того же слова, однокоренных или синонимичных слов; Например: мало-помалу, тихо-мирно б) имеющие приставку по- и суффиксы -ому/-ему, -и; Например: по-старому, по-летнему, по-дружески в) имеющие приставку в-/во- и суффикс -их/-ых. Например: во-вторых, в-третьих

4. Правописание сложных имен прилагательных.

Через дефис пишутся прилагательные:

• обозначающие оттенок цвета. Например: ярко-красный, светло-зеленый
• образованные от сложных существительных. Например: северо-восточный
• обозначающие оттенок качества. Например: горько-соленый
• первая часть которых заканчивается на -ико. Например: историко-архитектурный

Исключение: слова, начинающиеся на велико-: великорусский.

между частями которых можно поставить сочинительный союз и. Например: русско-английский словарь (русский и английский)

Слитно пишутся прилагательные:

• образованные от подчинительных словосочетаний. Например: железнодорожный (железная дорога).
• образованные от сложных существительных, пишущихся слитно. Например: железобетонный
• образовавшиеся путем сращения слов. Например: дикорастущий

5. Правописание сложных имен существительных.

Через дефис пишутся существительные:

• образованные путем соединения двух равноправных слов без соединительной гласной. Например: диван-кровать
• обозначающие некоторые географические названия. Например: Санкт-Петербург, Ростов-на-Дону
• обозначающие стороны света, партии, единицы измерения. Например: северо-восток, либерал-демократ, киловатт-час
• первой частью которых является вице-, экс-, штабс- и др. Например: вице-премьер, экс-президент, штабс-капитан

6. Правописание производных предлогов.

Производные предлоги — это предлоги, которые образовались путём перехода слов одной части речи в другую. Способ различения производного предлога и омонимичной самостоятельной части речи:

• если к слову можно задать вопрос, то это самостоятельная часть речи. Например: смотреть (куда?) в сторону
• если слово входит в состав вопроса, — это производный предлог. Например: смотреть (в сторону чего?) в сторону реки

Правописание производных предлогов:напротив, впереди, возле, внутри, кругом, вдоль, вблизи, согласно, вокруг, насчет, вследствие, в течение, в продолжение, в заключение, в силу, ввиду, благодаря, несмотря на, невзирая на, ввиду (но: иметь в виду).

8. Правописание союзов

Раздельно пишутся:

• союз то есть
• составные союзы (состоящие из двух и более слов): для того чтобы, потому что, так как, так что, тогда как, в то время как и др.

Слитно пишутся:

союз зато (по значению близок союзу но). Например: На улице после дождя остались лужи, зато воздух стал свежее.

Союз зато следует отличать от сочетания указательного местоимения то с предлогом за. Например: Я уважаю его за то, что он терпелив к людям.

союзы также, тоже (являются синонимами, взаимозаменяемы, по значению близки союзу и). Например: Сережа получил приз, мне тоже хотелось что-то выиграть.

Союзы также, тоже следует отличать от сочетаний частицы же с наречием так или с местоимением то. Например: На праздники мама готовила жареное мясо с запеченными овощами. То же блюдо мы увидели сегодня.

союз чтобы (имеет значение цели). Например: Закрой окно, чтобы не было сквозняка.

Союз чтобы следует отличать от сочетания местоимения что с частицей бы. Например: Я долго думала, что бы такого подарить Оле.

Видеоразбор 14 задания ЕГЭ по русскому языку

• Решай задание 14 по русскому языку с ответами.
• Решай с ответами.
• Изучай теорию по заданиям ЕГЭ по русскому языку.

Стереометрия

Задание №14 — стереометрия в профильном ЕГЭ по математике. В задачах данного уровня необходимо проявить знания как по планиметрии, так и по стереометрии. Однако многие задания опираются на теорему Пифагора, поэтому опыт решения аналогичных задач будет только плюсом. Перейдем к рассмотрению одного из таких заданий.

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно. а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

Алгоритм решения:

а)

1. Выполняем чертеж, соответствующий условию и проводим высоту ВН.
2. Вычисляем длину высоты ВН.
3. Вычисляем BN.
4. Показываем, что BM и MN перпендикулярны.

б)

1. Проводим перпендикуляр NP к ребру A₁B₂,
2. Показываем, что отрезок MN перпендикулярен плоскости ABB₁.
3. Определяем линейный угол между плоскостями BMN и ABB₁ и вычисляем его.

Решение:

Призма правильная, следовательно, основанием ее является равносторонний треугольник. H делит AC пополам, поскольку в равностороннем треугольнике высота является биссектрисой и медианой.

2. Тогда высоту BH можно вычислить по теореме Пифагора из треугольника АВН:

3. Вычисляем длину BN2 из треугольника BNH. Он тоже прямоугольный. По теореме Пифагора:

4. Отрезки BM и MN перпендикулярны, поскольку сумма квадратов их длин равна BN2, то есть 63:

По теореме, обратной теореме Пифагора, BMN – прямоугольный, причем угол M прямой.

Первая часть задания выполнена: утверждение доказано.

б)

1. Проводим перпендикуляр NP к ребру A₁B₂.

Показываем , что NP перпендикулярна плоскости ABB₁. Из построения и условия (призма правильная) следует:

А это означает, что

₁

3. Выше было доказано, что

Вычисляем его.

N – середина отрезка A₁C₁, тогда NP = 1/2∙h, где h – высота в треугольнике A₁B₁C₁. А он равносторонний и равен треугольнику АВС. Следовательно,

Второй вариант задания (из Ященко, № 1)

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Алгоритм решения:

1. Выполняем чертеж.
2. Устанавливаем подобие треугольников SAB и SMN.
3. Определяем вид сечения.

1. Полагаем объем пирамиды равным V.
2. Определяем какую часть от всего объема пирамиды составляет каждая часть.
3. Находим отношение определенных объемов частей.
4. Записываем ответ.

Решение:

2. Пусть N — точка на ребре SB, причем SN:NB = 5:1. Треугольник SAB подобен треугольнику SMN, потому что в них две стороны пропорциональны и углы между ними равны.

3. Из подобия следует:

Рассмотрим треугольники MAQ и NBP. У них:

MA = NB, QA = PB

Отсюда следует, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является трапецией MNPQ.

б)

1. Обозначаем объём пирамиды SABCD буквой V.

2. Многогранник AMQBNP составлен из пирамиды MABPQ (ее основание ABPQ) и пирамиды MBNP (ее с основание BNP).

Расстояния от точки М до (BNP) и от точки A до этой же плоскости равно 5:6, и S_BNP:S_SBC = 1:12.

3. Найдем отношение объёмов пирамид MBNP и ASBC: Оно равно 5:72. То есть объём V_MBNP = 5V|144.

S_ABPQ = ½ S_ABCD. Точка М отстоит от плоскости основания на расстоянии в 6 раз меньшем расстояния от вершины S до этого основании. Потому V_MABPQ = V|12.

Таким образом, V_AMQBNP = 5V|144+V|12=5V|144+12V|144=17V|144

Тогда отношение объёмов частей AMQBNP и CDSNPQM пирамиды равно

17:(144 – 17)127=17:127.

ЕГЭ 2021 по математике задание 14

В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ= 5 корней из 3, SC= 13. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.Решение: 1. Поскольку SABC — правильная пирамида, то ABC — равносторонний треугольник, а остальные грани — равные между собой равнобедренные треугольники. То есть все стороны основания равны 5 sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.2. Пусть D — середина BC, E — середина AS, SH — высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, EP — высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.4. Поскольку пирамида правильная, точка H — это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH=2 AD).5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH=AD 2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(132-52) = 12.6. Треугольники AEP и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и AP = AH/2, и EP = SH/2.7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDP (нас как раз интересует угол EDP). EP = SH/2 = 6;DP = AD 2/3 = 5;Тангенс угла EDP = EP/DP = 6/5,Угол EDP = arctg(6/5) Ответ:     arctg(6/5)

Еще задания 14 профильного уровня егэ по математике с решением